Dejemos que $X$ sea un elemento de $\mathbb{E}(A,B)$ y existe un homomorfismo entre B y C, entonces podemos definir un elemento en $\mathbb{E}(A,C).$

Question

Estoy estudiando por mi cuenta la teoría KK. Se me ocurrió el siguiente lema: Sean A, B y C graduados $C^{*}$ -y $\phi: B \rightarrow C $ sea un *homorfismo par, y $X=(E, \pi , T)\in \mathbb{E}(A,B)$ la clase de todos los módulos A-B de Kasparov. Entonces $(E\otimes_{\phi}C , \pi \otimes id_{c}, T \otimes id_{c})$ es un elemento de $\mathbb{E}(A,C)$ . El tensor aquí es el tensor produt en la gradación $C^{*}$ -algebras.

(1) Mi primera pregunta es qué hace el tensor $E\otimes_{\phi}C$ ? (Creo que significa que los escalares provienen de $\phi(B)$ ). (2) La razón por la que el homomorfismo $\phi$ tiene que ser par es que en la definición de los módulos A-B de Kasparov $T$ ¿está a mano?

Answer 1

Esto no es más que el producto tensorial como se indica (para el caso no graduado) en la sección 13.5 del libro de Blacakdar Teoría K para álgebras de operadores . En este caso, lo que hacemos es con $\phi$ identificamos $C$ como una izquierda $B$ -y formar el producto tensorial algebraico $E\odot_BC$ . Esto es un derecho $C$ -y tiene un $C$ -producto interno dado por $$\langle e_1\otimes c_1,e_2\otimes c_2\rangle=c_1^*\phi(\langle e_1,e_2\rangle)c_2.$$ Ahora cociente $E\odot_BC$ por vectores de longitud cero, y tomar la terminación para obtener el Hilbert $C$ -Módulo $E\otimes_\phi C$ .

Teniendo $\phi$ incluso hace $E\otimes_\phi C$ un Hilbert graduado $C$ -y finalmente (después de comprobar muchos detalles) hace $(E\otimes_{\phi}C , \pi \otimes id_{C}, T \otimes id_{C})$ un módulo Kasparov (graduado).