¿Cómo resolver esta inecuación?

Question

Así que la inecuación es esta $x^{2016}-1<0 $

Mi idea inicial era transformarlo así $x^{2016}>x^0$ y luego mirar cuatro casos:

$1.$ cuando $x \lt 0\lt 1$

$2.$ cuando $x \gt 1$

$ 3.$ cuando $-1\lt x\lt 0$

$4.$ cuando $x \lt-1$

¿Es esta la forma correcta de hacerlo?

Answer 1

El enfoque de los cuatro casos está bien, y producirá la respuesta correcta, pero hay un método mejor:

$x^{2016}<1$ por lo que, como $x^{2016}=|x^{2016}|=|x|^{2016},|x|<\sqrt[2016]1=1$ es la solución y es fácil comprobar que todos esos $x$ sí que funcionan.

Answer 2

Como han dicho otros, un método mucho más sencillo sería simplemente hacer lo siguiente:

$x^{2016}-1<0 \Rightarrow x^{2016}<1 \Rightarrow \ln|x^{2016}|<\ln|1|\Rightarrow\ln|x^{2016}|<0\Rightarrow \ln|x|<0\Rightarrow |x|<1$

Answer 3

Como $2016$ es par, el signo de $x$ no importa.

Si resolvemos en positivo,

$$p^{2016}<1\iff p<1.$$

Por lo tanto,

$$-1<x<1.$$