Encuentre $\sum_{n = 1}^{\infty}{2^{n}\left[\log\left(2\right)\right]^{n} \over n!}$

Question

$\mbox{Find}\displaystyle{\quad \sum_{n = 1}^{\infty}{2^{n}\left[\log\left(2\right)\right]^{n} \over n!}}$ .

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La respuesta es $3$ por la prueba de la relación la serie converge. Lo busqué en Google, pero me quedé atascado para el procedimiento.

¿Puede explicarlo, por favor?

Answer 1

Cabe recordar que $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=e^x,\quad x \in \mathbb{R}. $$

Answer 2

Utilizando la serie exponencial, se encuentra

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{2^{n}\left[\log\left(2\right)\right]^{n} \over n!}=e^{2\ln 2 }-1=2^2-1=3 $$