Unicidad de la solución de un problema de mínimos cuadrados con restricciones

Question

Estoy interesado en el problema lineal de mínimos cuadrados con la solución restringida al simplex estándar cerrado:

$$ \min_x \|Ax-b\|^2$$ con sujeción a $x_i \ge 0$ y $\| x \|_1 = 1$ .

Más concretamente, quiero saber qué condiciones de $A$ proporciona una solución única al problema.

Encontré condiciones en el rango de $A$ para las restricciones de igualdad del capítulo 5 de Métodos numéricos para problemas de mínimos cuadrados por Ake Bjorck, pero no sé si se aplican a mi caso.

Answer 1

Desde $x_i \ge 0$ , $\|x\|_1 = \sum_i x_i$ y la región factible es convexa (de hecho, un simplex). Si $A$ es inyectiva en $L = \{u: \sum_i u_i = 0\}$ El objetivo es estrictamente convexo, por lo que el minimizador es único. Por otro lado para que el minimizador $p$ para ser único no puede haber ningún $u \in L$ con $Au = 0$ y $p+u$ factible. Por lo tanto, si $u \in L$ y $Au = 0$ debe haber algún índice $i$ tal que $p_i = 0$ y $u_i < 0$ (para que $p + t u$ es inviable para todos los $t > 0$ ) y algunos $i$ tal que $p_i = 0$ y $u_i > 0$ (para que $p + t u$ es inviable para todos los $t < 0$ ).

Answer 2

Iniciar el sistema lineal $$ \mathbf{A} x = b, $$ donde $$ \mathbf{A}\in\mathbb{C}^{m\times n}, \ b\in\mathbb{C}^{m}, \ x\in\mathbb{C}^{n}. $$ La solución de mínimos cuadrados siempre existe y, en su forma más general, viene dada por $$ x_{LS} = \mathbf{A}^{\dagger}b + \left( \mathbf{I}_{n} + \mathbf{A}^{\dagger}\mathbf{A}\right) y $$ donde el vector arbitrario $y\in\mathbb{C}^{n}$ y $\mathbf{A}^{\dagger}$ es el pseudoinverso de Moore-Penrose.

Cuando $\mathbf{A}$ tiene un rango de columnas completo (número de columnas $n$ es el mismo que el rango de la matriz $\rho$ ), entonces el espacio nulo $\mathcal{N}\left( \mathbf{A} \right)$ es trivial y $$ \mathbf{A}^{\dagger}\mathbf{A} = \mathbf{I}_{n}, $$ y la solución de mínimos cuadrados es un punto. Es decir, la solución es única.