Regularización dimensional: ¿eliminar algo más que divergencias logarítmicas?

Question

He seguido dos cursos sobre QFT, que en ambos casos implicaban la renormalización por regularización dimensional. Mi confusión es que uno de los profesores afirmaba que la regularización dimensional sólo puede utilizarse para regularizar integrales logarítmicamente divergentes, mientras que el otro profesor afirmaba que el esquema puede renormalizar divergencias de orden superior. Permítanme precisar mi pregunta.

Consideremos la integral estándar que se calcula en un esquema de regularización dimensional: $$ I(n,\alpha) = \int \frac{d^np}{(p^2 + m^2)^{\alpha}} = i\pi^{n/2}\frac{\Gamma(\alpha-n/2)}{\Gamma(\alpha)}(m^2)^{n/2 - \alpha}. $$ Para $\alpha=2$ y $n=4\pm\epsilon$ (depende de la convención) la integral es logarítmicamente divergente y podemos continuar de forma estándar expandiendo la gamma, obteniendo un $1/\epsilon$ polo y añadiendo un contratérmino al Lagrangiano. En general, la integral sólo es convergente para $\alpha > n/2$ . En el caso de $\alpha = 1$ Por ejemplo, mi primer profesor afirma que hay que introducir un corte de Pauli-Villards para renormalizar correctamente. Mi segundo profesor afirma que se puede utilizar: $$ \int d^n q \frac{\partial}{\partial q^{\mu}}(q^{\mu}f(q)) = \int d^n q q^{\mu}\left(\frac{\partial}{\partial q^{\mu}} f(q)\right) + n\int d^n q f(q), $$ de tal manera que se desecha el término de frontera ya que es una integral de superficie por el teorema de Gauss. Afirma explícitamente que esto puede hacerse si $f(q)$ desaparece lo suficientemente rápido en el infinito, pero también que "la continuación analítica se llevará a cabo ignorando el término de superficie independientemente del comportamiento asintótico de la integral". Si esto es cierto/legítimo, se puede escribir: $$ \int d^n q q^{\mu}\left(\frac{\partial}{\partial q^{\mu}} f(q)\right) = - n\int d^n q f(q), $$ de manera que se puedan expresar las integrales divergentes en términos de las finitas.

¿Es correcto el último enfoque? ¿Es incorrecto el primer enfoque? ¿Podría comentar estos dos enfoques?

Answer 1

Puede comprobar que para $\alpha\leq 0$ cuando la integral es divergente en UV, el resultado para $I(n,\alpha)$ que has escrito -que es una función analítica, es decir, un resultado de la continuación analítica (y sí, el hecho de ignorar los términos de la superficie para todos los valores de los exponentes y las dimensiones es una forma de cancelar fácilmente los términos aparentemente divergentes pero moralmente desvanecidos, lo cual es suficiente para la continuación analítica)- sigue siendo perfectamente finita porque el polo de $\Gamma(\alpha-n/2)$ (que existe suponiendo que el argumento es un entero no positivo) se anula contra el polo en el denominador $\Gamma(\alpha)$ .

Para $n/2=2$ los únicos valores de $\alpha$ para los que el polo en el numerador existe y no se anula son $\alpha=2$ que es la divergencia logarítmica; y $\alpha=1$ que es la divergencia cuadrática. Además, el resultado del polo en este $\alpha=1$ puede atribuirse a la parte de "divergencia logarítmica" de la integral, mientras que la parte de "divergencia cuadrática" de la integral, cuando la integral se divide adecuadamente, es igual a cero en dim reg. La regularización dimensional "aniquila" automáticamente las divergencias de orden superior, como la cuártica (donde la parte de la divergencia logarítmica ya es cero en su integral); una divergencia cuártica aparece en los diagramas de energía del vacío (constante cosmológica).

Incluso cuando las divergencias cuádricas (o las divergencias cuadráticas purificadas) se convierten en finitas por dim reg, sigue siendo cierto que la teoría es sensible a los parámetros de la teoría que utilizamos a altas energías, por lo que la eliminación de estas divergencias no significa que hayamos eliminado los parámetros finitos que todavía tienen que ser especificados y cuyos valores no están dictados de forma única por ningún principio si interpretamos nuestra QFT sólo como una efectiva.

Tal vez al primer profesor no le guste el hecho de que dim reg aniquile por completo el término infinito para las divergencias de ley de potencia de orden superior - esa es una situación que él no llama una "regularización exitosa" porque en el límite físico, él todavía quiere que el resultado parezca infinito. Pero no hay nada malo si una regularización asigna un valor finito a una integral ingenuamente divergente. Y de hecho, a dim reg le gusta asignar un resultado finito (o incluso desvanecido) a muchos diagramas que son divergentes en otras regularizaciones. Por ejemplo, dim reg puede preservar automáticamente la simetría gauge, lo que significa que cancela las correcciones infinitas a la masa del fotón.

De forma análoga, la regularización de la función zeta utilizada en las CFT bidimensionales (y en la teoría de cuerdas, entre otros lugares) preserva automáticamente la simetría conforme. La simetría conforme implica, entre otras cosas, que el único valor finito de la suma de enteros positivos que preserva la simetría es $1+2+3+\dots = -1/12$ por lo que las sumas similares se convierten automáticamente en finitas y el valor es completamente inequívoco en la regularización de la función zeta.