Dimensión de la suma e intersección del espacio vectorial.

Question

Estoy tratando de entender la prueba de lo siguiente: Supongamos que $U,W$ son subespacios vectoriales de $V$ entonces $\dim (U+W)+\dim (U \cap W)= \dim (U) +\dim (W).$

La prueba es la siguiente: Sea $S: V \rightarrow V/W$ sea la suryección natural. Entonces tenemos $\dim (V) = \dim (W) +\dim (V/W)$ por la nulidad del rango. Ahora dejemos que $T: U \rightarrow (U+W)/W$ . Entonces tenemos $\dim \ker (T)= \dim (U \cap W)$ y $\dim Im (T)= \dim (U+W) - \dim (W)$ y el resultado es el siguiente.

Básicamente no entiendo qué pasa después de "Ahora dejemos $T$ ..." No entiendo cómo es $T$ definir, y por qué el rango y la nulidad de $T$ equivale a eso (que creo que quedará claro una vez que sepa cómo $T$ está definido), ¿podría alguien ayudar, gracias?

Answer 1

$T$ se define como la composición $U\to U+W\to (U+W)/W$ donde el primer mapa es sólo la inclusión, y el segundo mapa es la proyección canónica.

Answer 2

Parece que $T$ es la inclusión de $U$ en $U + W$ seguido del mapa de cociente a $(U + W)/W$ .

En esta interpretación, un elemento $u$ de $U$ mapas a $0$ si y sólo si $u \in W$ Así que $\ker(T) = U \cap W$ . Además, $T$ es (más o menos obviamente) suryente, por lo que $\dim \operatorname{Im}(T) = \dim(U + W)/W = \dim(U + W) - \dim W$ .

Answer 3

$U+W$ es el subespacio de $V$ que consiste en vectores de la forma $u+w$ , donde $u\in U$ , $w\in W$ . Como $W$ es un subespacio de $U+W$ se puede considerar el cociente $(U+W)/W$ que es el espacio de todos los vectores $(u+w) + W$ .

Ahora, $T$ es la función lineal que toma $u$ a la clase de $u$ en este cociente, que es $u+W$ . Si $u$ está en el núcleo de $T$ significa que $u+W = W$ es decir, que $u\in W$ Por lo tanto $\ker(T) \subseteq U\cap W$ y la otra inclusión también es cierta, ya que si $u\in U\cap W$ , $u\in W$ y $u+W = W$ . Hemos demostrado $\ker(T) = U\cap W$ .

En cuanto a $\mathrm{im}(T)$ : $T$ es suryente, porque si $(u+w)+W\in (U+W)/W$ este vector es igual a $u+W$ y $u$ es una preimagen de esto. Así que $\dim \mathrm{Im}(T) = \dim (U+W)/W = \dim (U+W) - \dim W$ como ya lo hace ahora (funciona como su primera igualdad, con $S$ ).