Considere el LP
$min f(x_1,...,x_n) = \sum_{i=1}^n i x_i $
tal que
\begin{align*} x_1 \geq 1 \\ x_1 + x_2 \geq 2 \\ ... \\ x_1 + ... + x_n \geq n \end{align*}
Estoy tratando de encontrar el Dual y una solución óptima para el LP
El dual es fácil de encontrar:
$max f = \sum_{i=1}^n i x_i $
tal que
\begin{align*} x_1+x_2+...+x_n \geq 1 \\ x_2 + ... + x_n \geq 2 \\ ... \\ x_n \geq n \end{align*}
pero, ¿cómo podemos encontrar la solución óptima?
El doble es
$$\max_y \sum_{i=1}^n i y_i$$
con sujeción a $$y_i \ge 0$$
$$\sum_{i=j}^n y_i = j, \forall j \in \{1,\ldots, n\}$$
En particular, para $n>1$ tenemos $$y_1 +\ldots + y_n =1$$
y $$y_2 +\ldots + y_n =2$$
lo que implica que $y_1=-1<0$ lo que demuestra que el dual es inviable.
Podemos comprobar que el primal es factible y, por tanto, no tiene límites.
Para ver directamente que el primal es ilimitado para $n>1$ , fíjese que $(1+k, 1, \ldots, 1, 1-k)$ es factible para el primal. Podemos dejar que $k$ sea arbitrariamente grande y la función objetivo será ilimitada.
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