Esto no es una respuesta completa a tu pregunta, es más bien un complemento a las respuestas existentes, y una respuesta a algunos de los comentarios que has hecho.
En un comentario, dijiste:
Yo visualizo el espacio-tiempo deformado como una especie de pista o rejilla y, obviamente, si se curva la pista o la rejilla todo lo que viaja "hacia adelante" a lo largo de la pista/rejilla se dobla en el grado en que la pista/rejilla se dobla.
Eso está perfectamente bien, siempre y cuando tengas en cuenta que mientras viajas por el espacio no puedes evitar avanzar en el tiempo a 1 segundo por segundo según un reloj que lleves contigo. El tiempo medido por ese reloj se llama tiempo propio, y generalmente utilizamos la letra griega $\tau$ (tau) para representar el tiempo propio.
En el espacio-tiempo plano, si te mueves con una velocidad constante con respecto a mí (de modo que nos medimos mutuamente para tener una velocidad constante y estar moviéndonos en una dirección espacial constante), puedes considerar que estás en reposo, de modo que tus coordenadas espaciales son constantes, pero por supuesto tu tiempo propio sigue avanzando, como siempre. Como dije antes en un comentario, dividiremos el espaciotiempo en espacio y tiempo de forma ligeramente diferente, y habrá un ángulo entre nuestros ejes temporales.
Un punto en el espacio-tiempo se llama evento. Digamos que viajas desde un evento A a otro evento B. Estás en reposo en tu marco, por lo que en tu marco A y B tienen las mismas coordenadas espaciales, pero B tendrá un tiempo propio posterior.
En mi marco, la "pista" espaciotemporal desde el suceso A hasta el suceso B tiene una componente espacial no nula, así como su componente temporal. Así que mientras tú dices que la "distancia" temporal entre A y B es $\tau$ y la distancia espacial es 0, mido que la distancia espacial entre A y B es $s$ y la distancia temporal es $t$ (según mi tiempo adecuado), y hay una fórmula sencilla que conecta esos números, la versión de Minkowski de la fórmula pitagórica: $$\tau^2 = t^2 - s^2$$ donde utilizamos unidades compatibles para nuestras mediciones de espacio y tiempo, por ejemplo, segundos luz y segundos.
Ahora, en la Relatividad General podemos cortar un trozo de espaciotiempo curvado en pequeños trozos de espaciotiempo, donde la curvatura de cada pequeño trozo es despreciable. Si el trozo grande está muy curvado, entonces sólo tenemos que hacer esos trozos pequeños muy pequeños. (Este es exactamente el mismo proceso que utilizamos para hacer un atlas de mapas planos de la superficie curvada de la Tierra. En cada página del atlas podemos ignorar la curvatura y utilizar una simple geometría plana 2D, y los errores por ignorar la curvatura son insignificantes). Así que en cada uno de esos pequeños trozos de espaciotiempo podemos ignorar la curvatura del espaciotiempo y hacer nuestros cálculos utilizando las ecuaciones del espaciotiempo plano de la Relatividad Especial. Las matemáticas de la relatividad general son esencialmente la maquinaria necesaria para dividir el espaciotiempo en pequeños trozos utilizando técnicas de cálculo estándar, y para seguir la pista de cómo se conectan todos los trozos entre sí.
Como mencioné en un comentario anterior, no es fácil visualizar el espaciotiempo 4D, con su fórmula de distancia de Minkowski que sustituye a la fórmula de distancia pitagórica estándar. Podemos simplificar un poco las cosas dejando de lado una dimensión espacial. Por ejemplo, si utilizamos un marco en el que el Sol está en reposo, la órbita de la Tierra alrededor del Sol está prácticamente en un plano. Así que podemos usar ese plano para nuestras dos dimensiones espaciales, y podemos usar la dirección vertical para representar el tiempo (pero teniendo en cuenta que la dirección del tiempo es un poco rara debido al $\tau^2 = t^2 - s^2$ fórmula de la distancia). Para simplificar aún más las cosas, supongamos que la órbita de la Tierra es un círculo perfecto, por lo que orbita alrededor del Sol a una distancia constante de aproximadamente 499 segundos luz con una velocidad constante de $10^{-4}\,c$ Es decir $10^{-4}$ segundos luz por segundo, o 30 km/s en unidades más convencionales.
Este círculo tiene una curvatura espacial bastante pequeña en relación con las escalas humanas típicas. Un arco de 55 km de ese círculo se desvía de una línea perfectamente recta en poco más de 1 cm. (Es decir, si se dibuja una cuerda desde un extremo del arco de 55 km hasta el otro, la distancia entre el arco y la cuerda en sus puntos medios es de aproximadamente 1 cm). Sin embargo, esa curvatura espacial es enorme en comparación con la curvatura del espaciotiempo.
Una trayectoria en el espaciotiempo se llama línea del mundo. En nuestro marco donde el Sol está en reposo, la línea del mundo del Sol es una línea vertical. La línea del mundo de la Tierra es entonces una hélice con una vuelta de la hélice por año. Ahora bien, un año equivale a unos 31.557.000 segundos, por lo que el paso de la hélice (la distancia vertical entre vueltas) es unas 63.240 veces su radio.
En unidades de segundos luz recíprocos, la curvatura del círculo orbital es $1 / 499 \approx 0.002$ . En cambio, la curvatura de la órbita hélice es $$\frac{499}{(3155700/2\pi)^2 + 499^2}\\ \approx 1.978\times 10^{-11}$$
que es un lote más pequeño. Así que no hace falta mucha curvatura del espacio-tiempo para mantener un planeta en órbita.
En realidad, probablemente debería usar un signo menos en el denominador de ese cálculo de la curvatura de la hélice, para respetar la métrica de Minkowski. Sin embargo, eso no afecta al resultado numérico a este nivel de precisión, sigue siendo $\approx 1.978\times 10^{-11}$ .
