¿Por qué la velocidad de un objeto afecta a su trayectoria si la gravedad deforma el espacio-tiempo?

Question

Creo que entiendo la idea de pensar en la gravedad no como una fuerza que tira de un objeto hacia otro objeto, sino como una deformación del espacio de manera que un objeto que se mueve en línea recta acaba siguiendo una trayectoria que lo acerca al objeto, como dos personas en el ecuador que se dirigen al Norte y acaban en el mismo punto aunque lo único que hicieron fue avanzar.

Lo que no entiendo es por qué la velocidad a la que viaja el objeto afectaría a la trayectoria que sigue si todo lo que hace es avanzar y es de hecho el espaciotiempo el que se dobla alrededor del planeta. Puedo entenderlo fácilmente en la mecánica clásica como dos fuerzas que se contrarrestan, pero no puedo visualizar lo que ocurre en un modelo de gravedad como espacio deformado.

Imagina un gran planeta y dos objetos que pasan junto al planeta, ambos con el mismo rumbo.

Uno es más lento que el otro. El objeto lento es capturado por el planeta y cae en una órbita (o al propio planeta si es demasiado lento para hacer una órbita). Si he entendido bien, este objeto simplemente avanza en el espacio, pero el propio espacio se dobla de modo que su trayectoria lo lleva ahora hacia el planeta. Pero nada ha sacado al objeto de su curso original.

El otro, un objeto que se desplaza rápidamente, tiene su trayectoria ligeramente torcida, pero vuela más allá del planeta y se aleja en el espacio. Lo mismo, simplemente se mueve hacia adelante y de nuevo su trayectoria se dobla en virtud de que el espacio mismo se dobla

Si estos dos objetos se mueven simplemente en línea recta a través del mismo espacio-tiempo doblado, yendo ambos sólo "hacia adelante", ¿cómo podría la velocidad de un objeto causar una trayectoria menos doblada hacia el planeta que la del otro? Seguramente uno solo viaja a través del mismo espacio tiempo igualmente doblado más rápido que el otro.

Estoy seguro de que me estoy perdiendo algo, pero no puedo encontrar una buena explicación, la mayoría de las explicaciones que puedo encontrar en línea sobre la visión de la gravedad como el espaciotiempo curvado ignoran por completo la velocidad a la que el objeto atrapado por la gravedad está viajando.

Seguimiento

Sólo quiero dar las gracias a todos los que han respondido a esta pregunta, me ha sorprendido lo mucho que la gente se ha preparado para formular las respuestas. No he elegido una respuesta aceptable, ya que no me siento capacitado para saber cuál es la mejor explicación, pero todas son muy buenas y me han ayudado a ampliar mi comprensión de este tema.

Answer 1

Utilizas la expresión "espaciotiempo curvo", pero sigues pensando sólo en un "espacio curvo" con un tiempo independiente y lineal.

En tu modelo de curvatura, estás asumiendo que el movimiento a través de algún punto espacial 3D en una dirección espacial 3D experimentará la misma curvación de la trayectoria 3D independientemente de la velocidad (como si lanzaras una pelota a través de un tubo curvo). Seguramente estarás de acuerdo en que una dirección 3D inicial diferente dará lugar a una trayectoria diferente.

Ahora estamos en 4D, lo que significa que dos velocidades iniciales diferentes son dos direcciones diferentes en 4D, y como el tiempo no puede ser tratado como un componente independiente, sino que se curva junto con el espacio, esto resulta fácilmente en una trayectoria diferente.

Answer 2

Abordemos este tema con una simple analogía. Supongamos que usted y yo estamos en dos coches en el ecuador y empezamos a conducir hacia el Norte. Aunque empecemos a conducir exactamente en paralelo, veremos que la distancia entre nosotros disminuye hasta que, al llegar al polo norte, chocamos. Nuestro movimiento es así:

(este diagrama está tomado de mi respuesta a Cuando los objetos caen a lo largo de trayectorias geodésicas del espacio-tiempo curvo, ¿por qué no hay ninguna fuerza que actúe sobre ellos? )

Así pues, la curvatura de la Tierra ha hecho que nos aceleremos el uno hacia el otro y que acabemos chocando, y esta aceleración depende de nuestra velocidad. Si conducimos muy despacio nos acercaríamos lentamente, mientras que si conducimos rápido nos acercaríamos rápidamente. Por tanto, la fuerza aparente que nos hace acelerar el uno hacia el otro depende de nuestra velocidad.

Y esto es más o menos lo que ocurre en la relatividad general. La aceleración de un objeto que cae en un espaciotiempo curvo se describe mediante una ecuación llamada ecuación geodésica, y la velocidad del objeto, o más exactamente la cuatravelocidad, aparece en esta ecuación.

En mi analogía simplificada de la esfera, la velocidad afecta a nuestra aceleración hacia el otro, pero no al resultado final, es decir, acabaríamos colisionando en el mismo lugar (el polo norte), pero esto es un artefacto de la analogía simplificada que he utilizado. Cuando hacemos el cálculo en el espaciotiempo 4D encontramos que la velocidad afecta también a la trayectoria. Diferentes cuatro velocidades producen diferentes cuatro aceleraciones y diferentes trayectorias.

Answer 3

Deshazte del planeta en tu escenario. Sólo ten dos objetos en el mismo lugar y en el mismo tiempo en el espaciotiempo plano (1+1D). Construyamos nuestro marco de referencia para que ambos comiencen en el origen $(t,x)=(0,0)$ con uno que se mueve a $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el $+x$ dirección y uno que se mueve a $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el $+x$ dirección. En el espacio-tiempo, ¿se mueven estos objetos en la misma trayectoria? Creo que se podría decir que sí, porque ambos siguen la trayectoria espacial $t = 0$ pero la respuesta es ¡rotundamente no! La trayectoria de un objeto a través del espaciotiempo es sólo eso El camino a través del espacio y tiempo. Nuestro objeto "lento" sigue el camino $x=t\cdot1\,\mathrm{m}/\mathrm{s},$ y nuestro rápido $x=t\cdot2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.$

Lo que estás pensando como "trayectoria" es la "sombra" de las trayectorias del espaciotiempo completo sobre el "hiperplano espacial" (en este caso, sobre el eje x; en tu pregunta eso sería el "espacio" tridimensional). Pero esto es SR/GR: la cuestión es que no basta con mirar el espacio. En cualquier caso, ahora que hemos establecido que los objetos con diferentes velocidades ya siguen trayectorias diferentes a través del espaciotiempo, incluso si éste es plano y aunque comiencen en el mismo punto. Todo lo que necesito decir es que un espaciotiempo curvo puede permitir que esta diferencia, que ahora parece "temporal", se desborde y se convierta en "espacial".

Ahora bien, no voy a entrar de lleno en la RG, pero para objetos de poca masa como la Tierra, la mayor parte de la atracción gravitatoria proviene de la curvatura de tiempo no el espacio. Todos los objetos se mueven naturalmente hacia el futuro, y la gravedad de la Tierra significa que la dirección hacia el futuro adquiere una componente radial hacia adentro cerca de su superficie (en comparación con un observador en caída libre "lejos"). Caer hacia la Tierra es tan inevitable como moverse en el tiempo... que es, como se ha demostrado anteriormente, bastante "evitable" si se va lo suficientemente rápido. En el caso de que evidentemente no caigamos por el suelo, esto se debe a que la repulsión entre nuestros átomos y los de la Tierra nos acelera constantemente a $1 g$ hacia arriba, siempre que estemos conectados mecánicamente a la superficie.

Ahora, dije que no iría a un GR completo. En su lugar, diré lo siguiente: incluso aquí, en la superficie de la Tierra, podemos aproximar el espacio-tiempo como plano (por lo que estamos en la tierra de la SR), y las cosas parecen acelerar bajo la gravedad simplemente porque estamos en un marco no inercial acelerando constantemente hacia arriba bajo la fuerza normal del suelo. Como truco de SR, deberíamos usar las coordenadas de Rindler. Las coordenadas de Rindler en SR son las coordenadas de un marco de referencia no inercial que tiene una aceleración propia constante. Visto desde un marco inercial, los ejes de coordenadas Rindler son curvos. Vistos desde el marco de Rindler, los ejes cartesianos del marco inercial son curvos. Suponiendo que estamos acelerando a $a=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ a lo largo del $+y$ dirección y dejamos que el origen sea compartido, la transformación de inercia $(t, x, y)$ coordenadas a Rindler $(T, X, Y)$ coordenadas es $$T=\frac{c}{a}\operatorname{arctanh}\left(\frac{tc}{y+\frac{c^2}{a}}\right),\quad X=x,\quad Y=\sqrt{\left(y+\frac{c^2}{a}\right)^2-c^2t^2}-\frac{c^2}{a}.$$ Si ampliamos nuestro gráfico anterior con un $y$ -eje, que se asoma dentro/fuera de su pantalla, entonces el $t$ -está definido por $x=y=0.$ Podemos graficar esto en el $T-Y$ plano de nuestras nuevas coordenadas:

(Nota: esto es casi, pero no del todo (unas pocas partes en [inserta-grande-potencia-de-10-aquí] fuera) una parábola). En el gráfico anterior, el $X$ -/ $x$ -El eje entra/sale de la pantalla. Si imagina que toma nuestro gráfico de arriba, alineando su $x$ - y $y$ -ejes con el $X$ - y $Y$ -ejes aquí, y luego doblando el $y$ - y $t$ -ejes para que se alineen con el $Y$ - y $T$ -entonces las líneas del mundo de los dos objetos también se doblan para dar la trayectoria tal y como las vemos desde nuestro marco de referencia unido al "suelo". Como los objetos no tienen $y$ -de su movimiento, sus líneas del mundo están en realidad "encima" del $t$ -La curva del eje anterior, por lo que el gráfico anterior también sirve para mostrar la relación (casi) cuadrática entre la altura y el tiempo transcurrido para los objetos al caer bajo la gravedad. Obsérvese que su aceleración aparente y su posterior desplazamiento en el $Y$ -(que podría considerarse la dirección "espacial" "altura") proviene puramente de la flexión del eje del tiempo.

Ahora, si giramos los gráficos superpuestos de manera que el $X$ - y $Y$ -son visibles pero el $T$ -El eje desaparece, finalmente recuperamos sus trayectorias espaciales. Mientras que en el marco inercial las trayectorias espaciales de los dos objetos coincidían, la curvatura de las coordenadas de Rindler ha convertido la separación temporal entre ellos (debido a sus diferentes velocidades) en espacial. Mi demostración es puramente matemática -el espaciotiempo descrito por las coordenadas de Rindler sigue siendo plano, aunque las coordenadas estén curvadas-, pero espero que puedas ver que en la RG, donde el espaciotiempo realmente se curva, esa curvatura puede "detectar" la diferencia entre objetos que se mueven a diferentes velocidades, porque los objetos simplemente son yendo en diferentes direcciones del espacio-tiempo.

Answer 4

Diferentes velocidades iniciales determinan diferentes direcciones iniciales para la geodésica a través del espaciotiempo. Por ejemplo, pensemos en un cono de luz en el espaciotiempo plano simple. La línea del mundo para un objeto con velocidad cero está a lo largo del eje del cono. La línea del mundo de un objeto que se mueve a la velocidad de la luz se sitúa a lo largo de la superficie del cono. Otras líneas del mundo para distintas velocidades se sitúan en distintos ángulos entre ellas.

Answer 5

Como otros han explicado, el punto principal es que la curvatura está en 4D, no sólo en 3D. De hecho, la principal "deformación" se produce en la dirección del tiempo.

Sólo quiero ayudar a tu imaginación con dos imágenes.

Considere un espaciotiempo 2D (horizontal) + tiempo (vertical), y un marco de referencia con la Tierra en reposo, como en la primera imagen de abajo. La Tierra es un disco 2D; su tubo del mundo (línea azul fina) en este espaciotiempo es un cilindro 3D.

Tomemos tres proyectiles que inician un movimiento tangencial sobre la superficie de la Tierra (líneas rojas gruesas). El primero tiene una velocidad inicial nula con respecto a la Tierra, por lo que su línea del mundo comienza verticalmente. El segundo tiene una velocidad tangencial no evanescente, por lo que su línea del mundo comienza en algún ángulo con un plano horizontal. La tercera tiene una velocidad tangencial inicial mayor que la tercera, por lo que su línea del mundo comienza en un ángulo menor con un plano horizontal (mismo espacio = tramo horizontal en menos tiempo = tramo vertical).

Si este espacio-tiempo fuera plano, como en la imagen anterior, las tres líneas del mundo estarían dentro de un plano (verde) paralelo al tubo del mundo de la Tierra. El primer proyectil se quedaría quieto, sin caer, con una línea del mundo recta y vertical. Los otros dos también tendrían líneas del mundo rectas que se alejarían del tubo del mundo de la Tierra.

En cambio, la energía-momento-estrés de la tierra curva el espacio-tiempo, como se muestra en la segunda imagen siguiente. La línea del mundo del proyectil con velocidad inicial cero se dobla hacia el tubo del mundo de la Tierra, adquiriendo así una velocidad radial y tocando finalmente la superficie de la Tierra. La línea del mundo del segundo proyectil se dobla alrededor del tubo del mundo de la Tierra; esto se considera un movimiento orbital. La línea del mundo del tercer proyectil también se dobla hacia el tubo mundo de la Tierra, pero no tanto como la del segundo. Al final se aleja de la Tierra (y se vuelve más "recta", ya que la curvatura disminuye); esto se ve como un escape de la gravitación terrestre.

Así, la curvatura del espaciotiempo dobla las líneas del mundo con diferentes "inclinaciones" de distintas maneras. De ahí la dependencia de la velocidad, que es como vemos dicha inclinación.

El hecho de que la mayor parte de la curvatura se produzca en la dirección del tiempo queda claro si se toman unidades naturales para la distancia espacial y el lapso de tiempo (1 s = 300000 km). Las líneas del mundo de los proyectiles ordinarios son casi "verticales", y su curvatura sólo se produce en distancias "verticales" enormes en este ejemplo de espaciotiempo.

La luna, por ejemplo, tiene una velocidad de aproximadamente 1 km/s. En unidades naturales sería una línea del mundo con un ángulo de 89,9998° respecto al plano horizontal. Y la espiral de su línea del mundo sólo formaría una bobina tras una distancia vertical de aproximadamente $56\,000\,000$ veces el diámetro del tubo mundial de la Tierra representado aquí - se necesitaría aproximadamente $56\,000\,000$ pantallas una encima de la otra para ver una bobina, si la imagen aquí respetó las unidades naturales.

Una imagen intuitiva aún más sencilla se obtiene considerando una bola lanzada verticalmente, con diferentes velocidades iniciales. Te invito a dibujar una imagen del espaciotiempo 1+1 de las líneas del mundo de la pelota con diferentes velocidades iniciales (se verán como parábolas) - verás el efecto de la curvatura, y su dependencia de la velocidad, directamente frente a ti. Comprueba también cómo se verían estas líneas del mundo parabólicas, utilizando unidades naturales.

(Por favor, ten en cuenta que las imágenes de arriba sólo tienen un propósito ilustrativo, no son gráficos de soluciones de ecuaciones de 2+1 Einstein ni nada por el estilo; ¡y perdón por la mala caligrafía!)