Demostrando que siempre hay un $f:X \to \mathbb{R}$ si $X$ es infinito, sin elección

Question

Consideremos la afirmación "para cualquier conjunto infinito $X$ existe una cantidad ilimitada de $f:X \to \mathbb{R}$ ". Si asumimos el axioma de elección, esta afirmación es trivial de demostrar. En efecto, dada la elección sabemos que existe un $S \subset X$ que es contablemente infinito, y por lo tanto mapeamos ese conjunto a $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ y mapear cada $x \in X \setminus S$ a $0$ .

¿Se puede probar esto sin elección?

Answer 1

Esto no es en absoluto demostrable. Si $X$ es un conjunto amorfo, que es un conjunto infinito que no puede dividirse en dos subconjuntos infinitos disjuntos, entonces cada función de $X$ en un conjunto linealmente ordenado, en particular $\Bbb R$ tiene un rango finito.

Y por supuesto, la existencia de conjuntos amorfos es consistente con $\sf ZF$ .

De manera más general, $X$ no puede asignarse a $\Bbb N$ si y sólo si $X$ no puede asignarse a un subconjunto no limitado de $\Bbb R$ . Y sabemos que $X$ no puede asignarse a $\Bbb N$ si y sólo si su conjunto de potencias es Dedekind-finito.