Encontrar una función basada en los mínimos y máximos relativos

Question

Encuentra la ecuación de una función cuya gráfica tiene un mínimo relativo cuando x=2 y un máximo relativo cuando x=5.

Esta es la pregunta y es impar porque normalmente tenemos que encontrar el máximo y el mínimo cuando se da una función.

De todos modos, no estoy seguro de qué hacer ya que aún no he hecho un problema como este. Sé que y'=0 cuando x=2, 5, y que y''>0 cuando x=2 e y''<0 cuando x=5. Cualquier ayuda se agradece, realmente el punto de partida es necesario, gracias de antemano.

Answer 1

Hay muchas funciones de este tipo. Si $f$ es una buena función de este tipo, entonces $f'(2)=0$ y $f'(5)=0$ . Buscamos una función que funcione. Supongamos que $f'(x)=(x-2)(x-5)$ . Entonces $f'(x)$ es positivo para $x\lt 2$ , negativo estrictamente entre $2$ y $5$ y positivo para $x\gt 5$ .

Así que $f$ está aumentando hasta $2$ y, a continuación, disminuyendo hasta $5$ y luego se incrementa: por lo que tenemos un máximo relativo en $x=2$ y un mínimo relativo en $x=5$ . No está del todo bien.

El arreglo es fácil. Deje que $f'(x)=-(x-2)(x-5)$ . Entonces $f'(x)$ es negativo para $x\lt 2$ positivo estrictamente entre $2$ y $5$ y luego negativo. Así que tenemos un mínimo relativo en $x=2$ y un máximo relativo en $x=5$ .

Así que $f'(x)=-(x-2)(x-5)=-x^2+7x-10$ hará el trabajo. ¿Podemos pensar en una función cuya derivada sea ésta? Sí, claro, $f(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}-10x$ .

Observación: He evitado deliberadamente la prueba de la segunda derivada a la que se alude en la OP. Esto se debe a que, según mi experiencia, los estudiantes de primer año de cálculo que utilizan la prueba de la segunda derivada suelen tener más dificultades que los estudiantes que se fijan en el comportamiento de la primera derivada.