Pregunta AMTI de 9º grado $-$ $65$ bichos en un $9 \times 9$ tablero

Question

Se colocan 65 bichos en diferentes casillas del tablero de 9X9 casillas. Un bicho en cada una de ellas se mueve a una casilla horizontal o vertical adyacente. Ningún bicho hace dos movimientos horizontales o dos verticales seguidos. Demuestra que después de algunos movimientos, habrá al menos dos bichos en la misma casilla.

Answer 1

Enlace de Jack Frost contiene una breve solución de v_Enhance en el El arte de resolver problemas , pero esa respuesta fue borrada por el propietario. Así que aquí hay una versión ilustrada:

Hay $16$ cuadrados rojos, por lo que en cuatro turnos, como máximo $64$ los bichos pueden visitar un cuadrado rojo sin chocar. Pero deberías poder convencerte de que cada bicho debe visitar una casilla roja cada cuatro turnos. Por lo tanto, si no hay colisiones, puede haber como máximo $64$ bichos.

Observación: Este argumento demuestra que si hay $65$ bichos, entonces dos bichos chocarán después de, como máximo, tres movimientos; mi comentario al OP muestra que dos movimientos no son suficientes.

Answer 2

Se trata de una pregunta basada en la topología de los bichos del tablero. Así que por esa razón los insectos pueden ser colocados en cualquier lugar en el tablero como la pregunta menciona sólo que los insectos se colocan en el lugar diferente en el tablero. Ahora, por favor, consulte el diagrama. El diagrama del tablero

En el diagrama si se observa con atención. el tablero se puede dividir en cajas de 4X4. La razón por la que se eligen las cajas de 4X4 es porque 64+1=65. Y 64 es un múltiplo de 4. Cuando se disponen las cajas en el tablero de 9X9 como se muestra se deja un pasillo de 17 cajas en el perímetro de la esquina. Esto se hace para demostrar la pregunta. Ahora en todas las casillas de 4X4 mostradas por monocolor hay 4 bichos. Estos bichos se moverán en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario.

• Por poner un ejemplo. El bicho de arriba a la izquierda vendrá a la parte inferior izquierda, el bicho de abajo a la izquierda se moverá a la parte inferior derecha, el bicho de abajo a la derecha irá a la parte superior derecha. y el ciclo continuará. Este tipo de movimiento ordenado se hace para simplificar el problema
• Los bichos nunca saldrán de sus cajas individuales. Esto no violará la regla del movimiento sucesivo alternativo.
• Ahora hacemos unos simples cálculos para saber que sólo queda un bicho. Este bicho puede colocarse en cualquier lugar del corredor exterior. Ahora es fácil visualizar que el bicho puede moverse la primera vez. Pero la siguiente vez no puede ir a ninguna casilla vacía. (no hay movimiento horizontal si el primer movimiento es vertical o viceversa )
• Por lo tanto, después de algunos movimientos tendrá que haber al menos 2 bichos en un bloque. En este caso sólo después de un movimiento
• Solución por parte de un estudiante de Ingeniería Mecánica.