Estoy en el espacio métrico $(\mathbb{R},d)$ donde $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$ y tengo que demostrar que $I_n=[n,+\infty[, n\in \mathbb{N}^*$ es cerrado, ¿es correcto tomar una secuencia convergente $(x_k)\in I_n$ así que $ x_k\geq n,\forall n\in \mathbb{N}^*$ entonces, $\lim_{k\rightarrow +\infty}x_k\geq n, \forall n\in \mathbb{N}^*$ es decir, $x\in I_n$ así que $I_n$ ?? Gracias
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Math1000
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Respuesta corregida:
Supongamos que $x_n\to x$ en el $d$ métrica. Entonces existe $M>0$ tal que $|x-x_n|<M$ para todos $n$ . Como si no, $|x-x_{n_k}|$ aumenta sin límite para alguna subsecuencia $\{n_k\}$ lo que significa que $\frac{\left|x-x_{n_k}\right|}{1+\left|x-x_{n_k}\right|}\to 1$ lo que contradice la suposición de que $d(x,x_n)\to 0$ . Así que dado $\varepsilon>0$ , elija $N$ para que $n\geqslant N$ implica $d(x,x_n)<\frac\varepsilon{1+M}$ . Entonces para $n\geqslant N$ tenemos $$\frac{|x-x_n|}{1+M}< \frac{|x-x_n|}{1+|x-x_n|} = d(x,x_n) < \frac\varepsilon{1+M}, $$ para que $|x-x_n|<\varepsilon$ .
Ahora dejemos que $x_n$ sea una secuencia en $I_m$ tal que $|x-x_n|\to 0$ para algunos $x\in\mathbb R$ . Desde $x_n\geqslant m$ para todos $n$ Debemos tener $x\geqslant m$ Así que $x\in I_m$ .
De ello se deduce que si $x_n$ es una secuencia en $I_m$ con $d(x,x_n)\to 0$ es decir $x_n$ converge a $x$ en el $d$ métrica, entonces $|x-x_n|\to 0$ y por lo tanto $x\in I_m$ . Por lo tanto, $I_m$ es cerrado con respecto al $d$ métrica.
