¿Por qué es tan importante la geometría simpléctica en la EDP moderna?

Question

En primer lugar, recordamos que el colector simpléctico es un colector liso, $M$ , dotado de una 2 forma diferencial cerrada no degenerada, $\omega$ , llamada la forma simpléctica. El estudio de las variedades simplécticas se denomina geometría simpléctica. En el libro clásico de Hörmander ALPDO (The analysis of partial differential operators -) escribió: la geometría simpléctica impregna una gran parte de la teoría moderna de los operadores diferenciales parciales lineales con coeficientes variables. Y dedicó todo un capítulo a discutirla.

Ahora, con algunos antecedentes básicos (sus orígenes en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica), quiero saber además que ¿por qué tendría un papel tan importante en el análisis moderno (como los operadores integrales de Fourier)?

Gracias de antemano.

Answer 1

Operadores diferenciales parciales lineales (o, en el lenguaje de la mecánica cuántica, observables cuánticos) sobre, digamos, ${\bf R}^n$ son (en principio, al menos) generados por los operadores de posición $x_j$ y los operadores de momento $\frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial x_j}$ que se relacionan entre sí mediante las relaciones básicas de conmutación $$ \frac{1}{i} [x_j, \frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial x_k}] = \delta_{jk}$$ donde $[,]$ aquí está el conmutador $[A,B] = AB-BA$ .

Mientras tanto, los observables clásicos en el espacio de fase $T^* {\bf R}^n$ son (también en principio) generadas por las funciones de posición $q_j$ y las funciones de impulso $p_j$ que se relacionan entre sí por las relaciones básicas de conmutación $$ \{ q_j, p_k \} = \delta_{jk}$$ donde $\{,\}$ es ahora el corchete de Poisson (puede que tenga las convenciones de signos invertidas aquí).

Una de las grandes ideas de la mecánica cuántica (o, en el lado matemático, del análisis semiclásico) es la principio de correspondencia que afirma, a grandes rasgos, que el comportamiento de los observables cuánticos converge en el límite de alta frecuencia (o, después de reescalar, en el límite semiclásico) al comportamiento análogo de los observables clásicos. La correspondencia es más fácil de ver en el lado de los observables que en el lado del espacio físico, por ejemplo, conectando el álgebra de von Neumann de los observables cuánticos acotados con símbolo suave con el álgebra de Poisson de los observables clásicos suaves. La primera está conectada con la EDP lineal y la segunda con la geometría simpléctica (o hamiltoniana).

Otra forma de ver la conexión es investigar lo que ocurre cuando se aplica un operador diferencial parcial lineal (o pseudodiferencial) a una función de alta frecuencia (o "estado cuántico"), cuando se ve esa función a través de su transformada de Wigner, que puede verse como una descripción aproximada del estado cuántico por una clásica. Un cálculo estándar muestra (bajo la cuantificación de Weyl) que la contribución de orden superior del operador en esta transformada viene dada por su símbolo, y el término de orden siguiente viene dado básicamente por el campo vectorial hamiltoniano asociado a ese símbolo. (Esto se discute, por ejemplo, en "Harmonic analysis on phase space" de Folland). Esto sugiere que la dinámica de las EDP lineales a altas frecuencias va a estar dirigida por la dinámica hamiltoniana asociada al símbolo de esa EDP.

Answer 2

Es la no conmutatividad del álgebra de los (pseudo)operadores diferenciales lo que hace que la geometría simpléctica sea tan importante en la teoría moderna de las EDP lineales. El símbolo principal de un conmutador es (hasta un factor constante) un soporte de Poisson de símbolos principales. El corchete de Poisson codifica la estructura simpléctica del haz cotangente. El símbolo principal de un $m$ -Operador diferencial de orden 0 $P$ se define por $$\sigma(P)(d\varphi)=\lim_{\omega\to\infty}\omega^{-m}e^{-i\omega\varphi}Pe^{i\omega\varphi},$$ lo que la hace evidentemente una función sobre el haz cotangente. Es un hecho muy importante que la no conmutatividad no es tan mala en el sentido de que el orden de un conmutador $[P,Q]$ es estrictamente menor que la suma de los órdenes de $P$ et $Q$ . El análisis microlocal y sus herramientas, como el lema (general) de Friedrichs o el cálculo FIO, dependen de ello.

El punto de vista anterior sobre el papel de la geometría simpléctica lo expresa Kashiwara en la sección 2.1 de su libro " $D$ -módulos y análisis microlocal".

Answer 3

Las formas simplécticas también aparecen cuando se intenta dar una descripción de las condiciones de contorno autoadjuntas (también disipativas, etc.) para un operador diferencial. Ya para los operadores diferenciales ordinarios, la fórmula estándar de Green-Lagrange define una forma simpléctica en colecciones apropiadas de valores de frontera de funciones y sus derivadas. Los problemas de valores límite autoadjuntos pueden identificarse con las variedades lineales lagrangianas. La teoría moderna de las extensiones autoadjuntas es una generalización de gran alcance de esta observación y puede aplicarse a algunas clases de ecuaciones diferenciales parciales. Para una introducción, véase

M. L. Gorbachuk y V. I. Gorbachuk, Boundary value problems for operator differential equations. Dordrecht, Kluwer, 1991.

En el documento se ofrece una revisión de los resultados recientes

J. Bruening, V. Geyler, y K. Pankrashkin, Spectra of self-adjoint extensions and applications to solvable Schrödinger operators. Rev. Math. Phys. 20, No. 1, 1-70 (2008); http://arxiv.org/pdf/math-ph/0611088.pdf

Answer 4

El operador integral de Fourier es un operador que tiene su núcleo de Schwartz como una distribución cuyas singularidades están en un submanifold lagrangiano. De hecho, podemos asociar un FIO con una amplitud y un submanifold lagrangiano de forma única. El submanifold lagrangiano es un tema de la geometría simpléctica.

Answer 5

Como el espacio cotangente tiene una estructura simpléctica natural, también podemos formular la pregunta como "¿Por qué es tan importante el espacio cotangente en la pde moderna?". Una buena respuesta a esta pregunta se da en http://math.berkeley.edu/~mjv/Por quéCot.pdf .