topología en el complejo CW $K$ o $n$ -esqueleto $K^{(n)}$

Question

Me cuesta entender qué es la topología en los complejos CW, es decir, cuáles son los conjuntos abiertos de un determinado complejo CW $K$ o $n$ -esqueleto $K^{(n)}$ son.

A mi entender, obtenemos la topología de forma inductiva y empezamos con la topología discreta en el $0$ -células $K^{(0)}$ .

A continuación, añadimos el $1$ -tomando la unión disjunta con el $0$ -células e identificando el límite de nuestro $1$ -células con $0$ -células a través de los mapas $f_\alpha: \partial D^1_{\alpha}\rightarrow K^{(0)}$ .

Y en $K^{(1)}$ tenemos la topología del cociente. Así que esto funciona para $n=1,2$ tal vez $3$ pero para el general $n$ ¿no hay una manera más fácil de determinar si un conjunto está abierto en $K^{(n)}$ ¿o no? ¿Una definición equivalente más fácil? ¿O es que esto ya es fácil y no lo he entendido bien? Supongo que mi pregunta es la siguiente: ¿qué significa si $A \subset K^{(n)}$ ¿está abierto?

Answer 1

Existe una descripción no inductiva de $K^{(n)}$ que da una descripción directa de los conjuntos abiertos.

Deje que el abierto $i$ -las celdas se indexen como $\{e_{i,j} \mid j \in A_i\}$ con conjuntos de índices disjuntos $A_i$ para $i \ge 0$ . Elija un mapa característico correspondiente a cada $e_{i,j}$ denotado $\chi_{i,j} : D^i \to K^{(i)}$ . Forma la unión disjunta de todos los dominios de todos estos mapas característicos: $$\Delta = \coprod_{0 \le i \le n} \coprod_{j \in A_i} D^i_{i,j} $$ donde $D^i_{i,j}$ denota (una copia de) el dominio $i$ -disco para el mapa característico $\chi_{i,j}$ . Definir $\chi : \Delta \to K^{(n)}$ para ser la unión disjunta de los mapas característicos $\chi_{i,j}$ a sí mismos. Entonces la topología en $K^{(n)}$ es simplemente la topología cociente inducida por $\chi$ es decir, es la topología más débil en $K^{(n)}$ tal que $\chi$ es continua (equivalentemente tal que cada $\chi_{i,j}$ es continua). Así, un subconjunto de $K^{(n)}$ es abierto si y sólo si su imagen inversa bajo $\chi$ está abierto.

Creo que puedes encontrar este punto de vista explicado en un apéndice de la "Topología Algebraica" de Hatcher.

Y este punto de vista en realidad funciona para todo el complejo CW incluso en el caso dimensional infinito, simplemente se utiliza $$\Delta = \coprod_{0 \le i < \infty} \coprod_{j \in A_i} D^i_{i,j} $$