¿Cómo encontrar el vector normal a una superficie parametrizada para encontrar el flujo?

Question

Estoy tratando de encontrar el flujo de $F = (x, y, z)^T$ a través de la superficie $A = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3\mid 0 \leq z \leq 1 - x^2 - y^2\}$ . Por lo que sé, la superficie se puede dividir en partes $A_1 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3\mid z = 0, x^2 + y^2 \leq 1\}$ et $ A_2 = \{(x, y ,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 \leq 1 - z\}$ . Ahora mismo estoy luchando con 1.) encontrar el vector normal para $A_2$ 2.) calcular el flujo correspondiente. La pista que me han dado es que $A_2$ debe parametrizarse como el trazado de una función. El problema es que no sé cómo aplicar la sugerencia. ¿Queremos definir $f(x, y) = 1 - x^2 - y^2$ y entonces, ¿algo? ¿Cómo nos ayuda esto a encontrar el vector normal para $\int\int_{A_2}F \cdot n dS$ ?

Además, hasta donde yo sé, el vector normal de $A_1$ es $-k$ para que $F \cdot (-k) = -z$ . Entonces el flox no pasará $A_1$ sea cero, ya que $\int\int_{A_a}F \cdot n dS = \int\int_{A_1}-zdS$ ?

Answer 1

En coordenadas cartesianas, la superficie puede parametrizarse como $z = f(x,y) = 1 - x^2 - y^2, 0 \leq z \leq 1$ . El vector normal hacia afuera de la superficie es entonces $(-\frac{\partial z}{\partial x}, -\frac{\partial z}{\partial x}, 1) = (2x, 2y, 1)$ . Obsérvese la proyección de la superficie en $XY$ el avión es $x^2+y^2 \leq 1$

Así que la integral de superficie es $ \ \displaystyle \iint_{x^2+y^2 \leq 1} \vec F \cdot (2x, 2y, 1) \ dx \ dy$

Otra forma de calcular el flujo será cerrar la superficie con el disco unitario en $z = 0$ y aplicar el teorema de la divergencia. Luego hay que restar el flujo a través del disco para encontrar el flujo a través de la superficie del paraboloide (por cierto, en este caso, el flujo a través del disco en $z = 0$ es cero).