Pregunta: Sea $\;A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2<1\right\}\;$ y $B=(-1,1)×(-1,1)$.

Question

Sea $\;A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2<1\right\}\;$ y $B=(-1,1)×(-1,1)$.

Describa explícitamente una función biyectiva $\;f:A\to B\;.$

¡Justifique por qué la función definida es realmente una biyección!

Answer 1

Consejo: Intenta parametrizar el segmento de línea radial en el ángulo $\theta$ para cada uno de estos conjuntos (es posible que necesites considerar varios casos). Luego elige un mapa lineal entre estos segmentos.

Answer 2

Aquí hay una biyección explícita. Te dejo la verificación a ti.

$$f(x,y)=\left(\frac{x}{1+|x|-\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{1+|y|-\sqrt{x^2+y^2}}\right)$$