Demuestre que hay infinitas potencias de dos que comienzan con el dígito 7

Question

Este es un problema matemático de concurso que no he podido resolver. Una pista hacia la solución también sería útil.

Problema: Demuestre que hay infinitas potencias de 2 que empiezan por el dígito 7.

Gracias de antemano.

Answer 1

Estaba intrigado. Al no ser lo suficientemente inteligente como para conseguir una prueba teórica, utilicé la fuerza bruta. Definitivamente feo. El único aspecto redentor es que es constructivo.

Así es como he procedido.

Observación: Si dos números son potencias de 2, también lo es su producto.

IDEA: Obtendré una potencia de 2 empezando por 7; luego usaré la observación anterior para multiplicar por una potencia de 2 adecuada que volverá a empezar por 7. Como se trata de un proceso infinito esto debería servir.

$a=2^{46}=70368744177664$ (¡al menos existe uno!)

$b=2^{10}=1024$

$c=2^{53}=9007199254740992$

Tomemos estos tres números. Sea $x$ sea un número bueno (es decir, un número que sea una potencia de 2 que empiece por 7). Entonces $bx$ o $cx$ es bueno.

Si el segundo dígito de $x$ es inferior a 8 se puede multiplicar por $b$ (es decir, 1024), de lo contrario multiplique por c. QED

Answer 2

Creo que este era un problema de V.I Arnold (corrígeme si me equivoco). Creo haber visto esta solución a su problema antes:

La declaración $2^k$ comienza con un $7$ equivale a la existencia de un número entero $m$ tal que $ \frac{2^k}{10^m} \in [7, 8)$ . Ahora sólo tenemos que demostrar que el conjunto de todos los números de la forma anterior es denso en el conjunto de los números reales. Demostrando que $\{ \frac{2^n}{5^m} : m,n \in \mathbb{Z}\}$ es denso es suficiente (se cancelan las potencias de dos). Aplicar la función $\log_2$ a la fracción. Esta función es continua, por lo que basta con demostrar que $\{ n-m\log_2{5} :m,n \in \mathbb{Z} \}$ es denso. Se trata de un grupo aditivo, que no es cíclico ya que $\log_2 {5}$ es irracional (y $\implies$ $1$ et $\log_2 {5}$ no pueden ser ambos múltiplos enteros del mismo número). Se deduce que este grupo es denso en los números reales. Por lo tanto, la afirmación es verdadera.

También tenemos la existencia de dicho número en cualquier intervalo abierto no vacío en $\mathbb{R}$ , lo que implica que hay infinitas potencias de dos a partir de cualquier cadena de enteros.

Answer 3

Una idea general de cómo abordar este problema sería tomar registros. Si $7 \cdot 10^k < 2^n < 8 \cdot 10^k$ entonces tenemos $$k + \log_{10} 7 < n \log_{10} 2 < k + \log_{10} 8.$$ Desde $k$ es sólo un número entero arbitrario, podemos reformularlo como $$\log_{10} 7 < \{n \log_{10} 2\} < \log_{10} 8,$$ donde $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ denota la parte fraccionaria de $x$ .

Después de esto, hay muchos enfoques para resolver el problema. Por ejemplo, si nos centramos en potencias de la forma $2^{10n} = 1024^n$ la parte fraccionaria es $\{n \log_{10} 1024\} = \{n \log_{10} 1.024\}$ . A medida que aumenta $n$ , $ \{n \log_{10} 1.024\}$ aumentará en $\log_{10} 1.024 \approx 0.01$ hasta que esto lo haga más grande que $1$ y se envuelve (esto ocurre cada $97$ o $98$ pasos).

Pero el intervalo $[\log_{10} 7, \log_{10} 8]$ tiene una anchura de aproximadamente $0.058$ Así pues, yendo por pasos de $0.01$ nunca lo echaremos de menos. Por lo tanto, en cada ciclo de $97$ pasos, veremos este intervalo al menos una vez, lo que significa que tendremos al menos una potencia de $2$ con un primer dígito de $7$ .

Answer 4

Multiplicando repetidamente por $2^{10} = 1024$ permite el primer dígito de cualquier número $n$ aumentan monótonamente (bueno, si se acepta el dígito $0$ como sucesor del dígito $9$ ), pero no estrictamente; de hecho, cada dígito se visita varias veces antes de llegar al siguiente. Para el mayor número que no comienza con un dígito $7$ (es decir $699999999...$ ) obtenemos $716799999...$ en un paso y $734003199...$ en el siguiente, por lo que nunca podemos "saltar" el $7$ como primer dígito al multiplicar repetidamente por $1024$ .

Si esto funciona para cualquier $n$ funciona para cualquier potencia de dos. Los productos de varias potencias de dos son también potencias de dos, por lo que el número generado es una potencia de dos mayor que $n$ por lo que, por inducción, podemos generar un número infinito de potencias de dos, todas ellas empezando por el dígito $7$ . $\Box$

Regla de generación de los números que empiezan por la cifra 7

Para cualquier número dado $n$ ( $n \in \mathbb{N}$ , $n>9$ ) hay que multiplicarlo por $2 ^ {10 \cdot p}$ para obtener un número que empiece por la cifra $7$ con

$$p = \left \lfloor \log_{1.024} {750 \over n'} \right \rfloor$$ et $n'$ siendo los dos primeros dígitos de $n$ (que existen gracias a $n>9$ ).

Ejemplo:

$$n = 3956$$ $$\Rightarrow n' = 39$$ $$\Rightarrow p = \left \lfloor \log_{1.024} {750 \over 39} \right \rfloor = 124$$ $$3956 \cdot 2 ^ {10 \cdot 124} = {748946690\dots} \mbox{ (377 digits)}$$

Answer 5

Demostremos que podemos acercarnos arbitrariamente a algún $10^n$ factor si dejamos que $k$ se hace lo suficientemente grande en $2^k$ .

$$\log_{10}({2^k}) = k\log_{10}(2)$$ Si ahora aceptamos $\log_{10}(2)$ es irracional (fácil de demostrar), entonces esto significa en la práctica que la duplicación no crea ninguna periodicidad en su décima representación.

Seleccionando $k_1,k_2$ podemos entonces obtener $\epsilon$ en $(10+\epsilon)^{k_1} = 2^{k_2}$ sea arbitrariamente pequeño, por lo que no importa lo cerca que esté un $7a_1a_2\cdots a_n$ es $80\cdots 0$ siempre podemos encontrar una potencia de 2 que si se multiplica con el número anterior se colaría entre el 7 y el 8, (aunque sin garantía de cuántos dígitos nuevos al final).