Matriz triangular superior $A$ es diagonal, si cada vector propio de $A$ es el vector propio de $A^T$ .

Question

Dejemos que $A\in \mathbb{R}^{4\times 4}$ triangular superior, tal que cada vector propio de $A$ es también un vector propio de $A^T$ (transposición). Demostrar que $A$ es una matriz diagonal.

Intento Deberíamos derivar $a_{ij}=0,~i\neq j.$ Dejemos que $x\neq 0$ sea un eigenvetor de A, correspondiente al valor propio $\lambda.$ Entonces, por hipótesis, $Ax=A^Tx=\lambda x$ pero $(A-A^T)x=0$ no me lleva a ninguna parte.

¡Gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

Quizás la forma más fácil de ver esto es observar que el primer vector base estándar es un vector propio de la matriz triangular superior $A$ . Por su hipótesis debe ser también un vector propio de $A^\text{T}$ . Esto obliga a la primera columna de $A^\text{T}$ para ser $0$ después de la primera entrada. Esto es lo mismo que decir que la primera fila de $A$ es $0$ después de la primera entrada.

Ahora sabemos que el segundo vector base estándar de $A$ es también un vector propio, por lo que podemos continuar de forma similar.

Espero que eso ayude. Si tiene alguna duda al respecto, pregunte.

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¿Cuál es la intuición de mi prueba?

Sé que una base estándar $e_i$ es un vector propio de $A$ precisamente si el $i$ columna de $A$ es $0$ excepto quizás en el $i$ La tercera fila. Del mismo modo, el $e_i$ es un vector propio de $A^\text{T}$ precisamente si el $i$ La fila de $A$ es cero, excepto quizás en el $i$ columna. Mi demostración depende sólo de estos dos hechos y de alguna reflexión sobre la forma de una matriz triangular superior.

Mi primer pensamiento, antes de darme cuenta de lo anterior, fue preguntarme qué ocurre cuando la matriz está en forma normal de Jordan, ya que entiendo perfectamente los vectores propios en ese caso. Me di cuenta de que todos los bloques de Jordan deben tener tamaño uno en ese caso y entonces que la razón es la que te di.