¿Cómo son los vectores (in)dependientes en $\mathbb R^n$ ¿se han dispuesto en el espacio?

Question

Consideremos un conjunto finito de vectores $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$ .

Este conjunto es linealmente independiente si $\sum_k \alpha_k v_k=0$ implica $\alpha_k=0$ . Geométricamente, entiendo la dependencia lineal como la afirmación de que un conjunto de vectores está contenido en un hiperplano que pasa por el origen.

Por otro lado, decimos que $\{v_i\}_i$ son afinamente dependiente si $\sum_k \alpha_k v_k=0$ para $\alpha_k$ no todo es cero y tal que $\sum_k\alpha_k=0$ . ¿Existe una intuición geométrica similar para visualizar cuando un conjunto $\{v_i\}_i$ ¿es afinamente dependiente/independiente?

Answer 1

Su caracterización de la (in)dependencia lineal no es del todo correcta. Todo conjunto de vectores está contenido en algún tipo de hiperplano que pasa por el origen, es decir, su tramo.

En cambio, diría que un conjunto finito de vectores es linealmente dependiente si se encuentra en un hiperplano que pasa por el origen cuya dimensión es menor que el número de vectores del conjunto.

Y de forma similar, un conjunto finito de puntos en $\mathbb R^n$ es afinamente dependiente si se encuentra en un hiperplano cuya dimensión es menor que el número de puntos del conjunto menos 1 . Así, 3 puntos diferentes de una recta son afinamente dependientes, pero 2 puntos diferentes de una recta son afinamente independientes.

Hay otra bonita imagen geométrica de la independencia afín:

• un par de puntos es afinamente independiente si es el conjunto de extremos de un segmento de recta (lo que ocurre si y sólo si los dos puntos de ese par son desiguales)
• un triple de puntos es afinamente independiente si es el conjunto de vértices de un triángulo
• un cuádruple de puntos es afinamente independiente si es el conjunto de vértices de un tetraedro
• a $k$ -es afinamente independiente si es el conjunto de vértices de un $k-1$ dimensional simplex .

Answer 2

Como dice @runway44, afín-dependiente significa que "están todos en el hiperplano", aunque posiblemente un hiperplano que no contiene el origen. Para ver esto rápidamente, toma el $k+1$ vectores $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$ con $$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ y restar $v_0$ de cada uno de $v_1, \ldots, v_k$ para conseguir $w_1, \ldots, w_k$ .

Entonces los vectores $w_k$ todas se encuentran en un hiperplano paralelo que pasa por el origen. (Vale la pena hacer el álgebra para establecer esto por ti mismo).

O, para decirlo de forma más clásica, si tomamos $v_0$ como el origen de un nuevo sistema de coordenadas, entonces el resto de $v_i$ los vectores se encuentran en un hiperplano.