(N,+) y (N,*) no son isomorfos

Question

Demostrar que los monoides $(\mathbb N,+)$ y $(\mathbb N,\cdot)$ no son isomórficos.

Lo he intentado asumiendo que existe un isomorfismo f entre (N,+) y (N,*). Entonces f(x+y)=f(x)*f(y), para cada x,y de N y f(0)=1. Para x=0 e y=1 tenemos f(1)=f(0)*f(1). Pero f(0)=1. Eso significa que f(1)=f(1), por lo que no me sirve de nada.

Answer 1

Dejemos que $f$ es el isomorfismo.
Dejemos que $f(1)= c$ .
Entonces, utilizando la inducción $f(n) = f(1)^n = c^n$ que no puede ser biyección (ya que no es onto).