Mostrar $\int_0^1 x^n (1-x)^{N-n} dx = \left(\binom{N}{n} (N+1)\right)^{-1}$

Question

Como sugiere el título, me gustaría saber cómo resolver la siguiente integral (solución encontrada con Mathematica)

$$\int_0^1 x^n (1-x)^{N-n} dx = \left(\binom{N}{n} (N+1)\right)^{-1}$$ (podemos suponer $0<n<N$ y $n,N\in \mathbb{N}$ )

Estoy pensando que probablemente hay un truco genial usando el teorema del binomio pero no lo puedo averiguar.

Gracias

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\begin{align} \int_0^1 x^{n} (1-x)^{N-{n}} dx &= \int_0^1 \sum _{k=0}^{N-n} \binom{N-n}{k} (-1)^k x^{n+k} dx\\ &=\sum _{k=0}^{N-n} \binom{N-n}{k}(-1)^k (1+k+n)^{-1}\\ &\ldots \end{align} Ahora estoy pensando en multiplicar por $\binom{N}{n}$ y demostrar que la suma se reduce simplemente a $(N+1)^{-1}$

Answer 1

Un ejemplo de intentar que las identidades polinómicas simples hagan el trabajo combinatorio es el siguiente: observe que la integral es $1/{N\choose n}$ veces el coeficiente de $t^{N-n}$ en $\int_0^1 (x+t(1-x))^N\,dx$ . Esta última integral se calcula fácilmente como ${1\over N+1}{1-t^{N+1}\over 1-t}$ que es ${1\over N+1}(1+t+t^2+\ldots+t^N)$ . :)

EDITAR: ampliar $(x+t(1-x))^N$ por el teorema del binomio: $\sum_{n=0}^N {N\choose n} x^n(1-x)^{N-n}\cdot t^{N-n}$ .