Pregunta sobre los términos de una secuencia.

Question

Dejemos que $a$ sea un número real positivo, y que $x_1 > \sqrt a$ . Definir la secuencia $\{x_n\}$ donde $$x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{a}{x_n})$$

Me gustaría demostrar que $x_n > \sqrt a$ por cada $n$ pero no puedo demostrarlo. ¿Puede alguien darme alguna idea?

Answer 1

Sugerencia: Pruebe la desigualdad aritmética-geométrica y utilice la inducción para demostrar que no puede haber igualdad en ninguna $n$ .

Respuesta en spoiler:

El caso base se mantiene por hipótesis. Supongamos ahora que $x_n > \sqrt{a}$ para algunos $n$ . Entonces $$x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right) \ge \sqrt{x_n\frac{a}{x_n}} = \sqrt{a}$$ donde la desigualdad es una aplicación de la desigualdad aritmético-geométrica. Hay igualdad si y sólo si ${x_n} = \frac{a}{x_n}$ pero por nuestra hipótesis de inducción eso es imposible ya que $$x_n > \sqrt{a} \implies \frac{a}{x_n} < \sqrt{a} < x_n$$ Por lo tanto, debemos tener $x_{n+1} > \sqrt{a}$ según sea necesario.

Answer 2

Basta con demostrar que si $x>\sqrt{a}$ entonces $x+\frac{a}{x}>2\sqrt{a}$ (¿por qué?). Tenga en cuenta que $\frac{d}{dx}(x+\frac{a}{x})=1-\frac{a}{x^2}$ es positivo para $x>\sqrt{a}$ y que cuando $x=\sqrt{a}$ tenemos $x+\frac{a}{x}=2\sqrt{a}$ . Así, $x+\frac{a}{x}>2\sqrt{a}$ para $x>\sqrt{a}$ .