Foco de la hipérbola rectangular que toca una elipse dada $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{18}=1$

Question

Considere una elipse $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{18}=1$

Existe una hipérbola cuya única asíntota es el eje mayor de una elipse dada. Si la excentricidad de la elipse y la hipérbola dadas son recíprocas entre sí, ambas tienen el mismo centro y se tocan en el primer y tercer cuadrante. El foco de la hipérbola está en?

Claramente, será una hipérbola rectangular digamos $xy=k$ para $k>0$ y si la hipérbola y la elipse se tocan se obtiene la ecuación bicadrática $x^4-36x^2+2k^2=0$ . Puedo considerar $D=0$ para la tangencia, pero como es cuadrática en $x^2$ puede tener otra condición cuando una raíz es positiva y otra negativa. Ahí es donde estoy atascado. Por favor, ayúdenme.

Answer 1

E: $$x^2/36+y^2/18=1 \implies y'=-\frac{x}{2y}$$ RK: $$xy=k^2 \implies y'=-y/x$$ Igualando las dos derivadas (pendientes), obtenemos $2y^2=x^2$ Poniendo esto en RH obtenemos $x= 2^{1/4}k, y= 2^{-1/4} k$ en el primer cuadrante. Utilizando estos en E obtenemos $\frac{k\sqrt{2}}{36}+\frac{k}{18\sqrt{2}}=1 \implies k=3 (2)^{1/4}$ . Así que los dos RH requeridos son $$xy= \pm 9 \sqrt{2}.$$