Paradoja en la teoría de los circuitos

Question

Consideremos el caso simple de una batería en serie con una resistencia, mediada por un cable conductor.

En estado estacionario, los portadores de carga circulan por el circuito a velocidad constante a través de los hilos conductores. De esto podemos concluir que la batería no está haciendo ningún trabajo sobre los portadores de carga (o los portadores de carga ganarían energía cinética), y la totalidad de la energía de salida de la batería está siendo disipada por la resistencia en forma de calor ( $V I$ vatios).

Editar: Se ha señalado en múltiples respuestas que este punto es incorrecto. Es más correcto decir que se realiza trabajo sobre la carga y luego se realiza trabajo negativo sobre ella de nuevo dentro de la resistencia. Sin embargo, creo que todavía podemos argumentar que el campo eléctrico es 0 dentro del cable conductor y continuar con la paradoja.

Dejemos que $E$ sea el campo eléctrico y $\gamma$ ser un camino completamente contenido en el circuito y que comienza y termina dentro de un cable conductor. Como la batería no hace ningún trabajo sobre los portadores de carga, se deduce que $\text{work} = \int_\gamma E \cdot dl = 0$ . En particular, $E \equiv 0$ en todos los puntos de los hilos conductores.

Editar: Para fijar el argumento aquí, debería decir que el campo eléctrico es 0 dentro del hilo conductor simplemente porque las cargas no se aceleran en ningún punto dentro del hilo conductor.

Dado que el circuito tiene una carga neutra neta en su conjunto, no hay ningún campo eléctrico en el espacio ambiente fuera del circuito.

El único campo eléctrico distinto de cero está contenido en la propia pila y la resistencia, y sus fluctuaciones son responsables del aumento neto de la energía cinética de las partículas dentro de la resistencia.

Ahora añade un condensador sin carga en paralelo con la resistencia.

Inicialmente, el campo eléctrico total entre las placas del condensador es el producido por el circuito en el espacio ambiente, que resultó ser cero. Y como no hay fuerzas que hagan que los portadores de carga se acumulen en una de las placas, el campo entre las placas seguirá siendo cero.

Esta situación contradice la teoría de los circuitos, que predice que se formará un campo eléctrico entre las placas debido a la acumulación de portadores de carga en una de ellas.

¿Cuál es la resolución?

Answer 1

Desgraciadamente, esta cuestión está a caballo entre la teoría de los circuitos y el electromagnetismo. Este tipo de preguntas están fuera del alcance de una clase de teoría de circuitos y, lamentablemente, no suelen estar bien cubiertas en un curso de electromagnetismo. Intentaré tender un puente entre ambas o responder con ambas teorías en la medida de lo posible.

En estado estacionario, los portadores de carga circulan por el circuito a velocidad constante a través de los cables conductores. De esto podemos concluir que la batería no realiza ningún trabajo sobre los portadores de carga,

Esta conclusión es incorrecta. Desde el punto de vista de la teoría de circuitos, la batería tiene una corriente y un voltaje distintos de cero y, por lo tanto, el $P=IV$ también es distinto de cero (positivo). Desde el punto de vista del electromagnetismo, el trabajo sobre los portadores de carga viene dado por $\mathbf E \cdot \mathbf J$ que también es positivo dentro de la batería.

El hecho de que la velocidad sea constante no implica que el trabajo realizado por la pila sea nulo. Del mismo modo, los engranajes del pedal de una bicicleta realizan un trabajo positivo sobre la cadena aunque la velocidad de ésta no aumente. Simplemente hay otra fuente que está haciendo trabajo negativo.

Dado que el circuito está cargado de forma neutra en su conjunto, no existe ningún campo eléctrico en el espacio exterior del circuito.

El único campo eléctrico distinto de cero está contenido en la propia pila y la resistencia, y sus fluctuaciones son responsables del aumento neto de la energía cinética de las partículas dentro de la resistencia.

Esto no es correcto. Aunque el circuito tenga una carga neta neutra, eso sólo implica que no hay un campo monopolar en el espacio ambiente fuera del circuito. Puede haber campos dipolares y multipolares de orden superior.

En particular, las cargas superficiales son extremadamente importantes en el funcionamiento normal de un circuito. Producen campos bastante complicados en el espacio ambiente fuera del circuito. He aquí un tratamiento semicuantitativo . Véanse en particular las figuras 7 y 9, que detallan los campos ambientales. Me gusta la forma en que este documento tiende un puente entre el electromagnetismo básico y la teoría de circuitos.

Inicialmente, el campo eléctrico total entre las placas del condensador es el producido por el circuito en el espacio ambiente, que resultó ser cero. Y como no hay fuerzas que hagan que los portadores de carga se acumulen en una de las placas, el campo entre las placas seguirá siendo cero.

Esta situación contradice la teoría de los circuitos, que predice que se formará un campo eléctrico entre las placas debido a la acumulación de portadores de carga en una de ellas.

Como se muestra en el documento anterior, hay un campo eléctrico ambiental inicialmente que es causado por las cargas superficiales en el circuito. Este campo eléctrico impulsa la acumulación de portadores de carga en la placa hasta que el campo del condensador equilibra el campo ambiental en el punto de conexión y las cargas ya no son impulsadas hacia las placas. (Este escenario particular no puede ser resuelto en la teoría de circuitos con componentes puramente ideales ya que produciría brevemente una corriente infinita a través del condensador)

Answer 2

De esto podemos concluir que la batería no está haciendo ningún trabajo sobre los portadores de carga.

No. La batería está haciendo trabajo sobre los portadores de carga, que a su vez están haciendo trabajo sobre la resistencia. La batería es una fuente de voltaje; los electrones que la atraviesan ven aumentar su energía, que luego se disipa al forzar su paso por la resistencia.

Así que no hay paradoja.

Dado que el circuito tiene una carga neutra neta en su conjunto, no hay ningún campo eléctrico en el espacio ambiente fuera del circuito.

No. Hay una tensión entre los cables de la parte superior del esquema y los de la parte inferior. Así que mientras el circuito puede o no tener una carga neutra neta, habrá un campo eléctrico de dipolo causado por los cables y la batería. En concreto, suponiendo que hagas un circuito que coincida mecánicamente con el esquema, tu condensador acabaría siendo una zona de máximo campo eléctrico, porque está justo entre los cables + y -.

Así que, de nuevo, no hay paradoja.

Answer 3

Sólo porque los portadores de carga fluyan a velocidad constante por un circuito (siempre lo hacen en los circuitos de corriente continua) no significa que no haya campo. La pila bombea constantemente portadores de carga CONTRA el campo eléctrico que aparece en sus polos, en virtud de los procesos electroquímicos que se producen en su interior. Por lo tanto, la pila funciona. Esta energía se disipa por completo cuando los portadores de carga descienden por la diferencia de potencial en su camino a través de la resistencia, donde se dispersan en su mayoría por los defectos de la red, creando toneladas de fonones, es decir, calor.

En cuanto al campo eléctrico: Sólo porque todo el circuito tenga carga neta 0, no significa que no haya campo eléctrico fuera de los propios elementos. Ciertamente habrá un campo eléctrico cerca de la batería, y de la resistencia. De acuerdo, si te alejas lo suficiente del circuito, no tendrá términos eléctricos monopolo o dipolo, pero en el campo cercano, todavía hay campo E no nulo.

Answer 4

Sólo sé lo básico de los circuitos y el electromagnetismo. Aun así, intentaré aclarar tus dudas.

Inicialmente, el campo eléctrico total entre las placas del condensador es el producido por el circuito en el espacio ambiente, que resultó ser cero. Y como no hay fuerzas que hagan que los portadores de carga se acumulen en una de las placas, el campo entre las placas seguirá siendo cero . Este estado de cosas contradice la teoría de los circuitos, que predice que se formará un campo eléctrico entre las placas debido a la acumulación de portadores de carga en una de ellas.

El campo dentro de un alambre conductor mágico perfecto en estado estacionario será cero y por lo tanto las cargas se moverán con una velocidad constante. Sin embargo, estás diciendo que no hay fuerzas que hagan que los portadores de carga se acumulen en las placas del condensador. No se necesita una fuerza para acumular cargas en el condensador .

Las cargas con velocidad constante siguen constituyendo una corriente constante. Cuando los portadores de carga encuentran un "hueco" en el cable conductor en forma de placa del condensador (suponemos que el hueco tiene una resistencia infinita), los portadores de carga perderán toda su energía cinética y se detendrán en la placa del condensador, incapaces de atravesar la resistencia infinita. La energía cinética de los portadores de carga se convertirá en la energía del campo eléctrico entre las placas del condensador. En estado estacionario, el campo producido por el condensador se opondrá a los portadores de carga que quieran entrar en la rama del condensador.

Por lo tanto, incluso en un cable conductor ideal de resistencia cero y sin campos ambientales de fuga, ambos supuestos frecuentes en los circuitos, el condensador seguirá cargándose.

Por supuesto, en los circuitos reales, los cables conductores ideales no existen y hay un campo desarrollado en ellos y hay algún campo ambiental alrededor del cable. Pero incluso en el caso ideal funciona perfectamente.

Answer 5

De esto podemos concluir que la batería no está haciendo ningún trabajo sobre los portadores de carga

¿Cómo se deduce esto? Las cargas del lado bajo están a un potencial más bajo que las del lado alto. La fuente de tensión está haciendo trabajo sobre las cargas para moverlas al potencial más alto.

Dado que el circuito está cargado de forma neutra, no hay campo eléctrico en el espacio exterior al circuito.

Eso es insuficiente. Si imaginas un dipolo neutro (como un átomo de hidrógeno o similar), el objeto no tiene carga neta, pero tendrá un campo eléctrico distinto de cero lejos del objeto que depende de la fuerza del dipolo. El circuito puede ser neutro en su conjunto, pero podría tener un exceso de carga en un lado y, por tanto, un campo entre ambos.

en los circuitos cotidianos, el condensador del circuito puede girar de manera que la acumulación de carga se oponga a cualquier campo ambiental existente, y aun así la carga se acumulará de alguna manera.

El condensador no se carga debido al campo ambiental, sino debido al campo que surge del movimiento de las cargas en los conductores conectados. Mientras esté conectado a cables, la orientación no importa mucho porque los cables limitan por dónde fluirán las cargas. Las cargas en movimiento crearán un campo de intensidad suficiente dentro del condensador.

Para fijar el argumento aquí, debería decir que el campo eléctrico es 0 dentro del alambre conductor simplemente porque las cargas no se aceleran en ningún punto dentro del alambre conductor.

Aunque habrá un campo insignificante en el cable, el argumento de la no aceleración es insuficiente. Eso sólo dice que no hay fuerza neta sobre la carga, no que el campo no esté haciendo ningún trabajo.

Si desciendo por una colina en mi coche a velocidad constante, no puedo concluir que no hay campo gravitatorio, ya que el coche no está acelerando. En cambio, decimos que al trabajo del campo gravitatorio se opone el freno. En nuestro circuito, el campo eléctrico en la resistencia está "empujando" las cargas hacia delante exactamente al mismo ritmo que la resistencia se opone a ellas. El resultado final es una velocidad constante y un KE constante, pero perdiendo potencial.

Como el circuito tiene una carga neutra neta, no hay campo eléctrico en el espacio exterior al circuito.

Imagina que los hilos (neutros) mueven la carga de forma que hay un exceso entre la fuente de tensión y la resistencia. Entonces habrá un déficit en la otra rama del circuito. Habrá entonces un campo eléctrico entre las dos ramas aunque el circuito siga siendo neutro en su conjunto.