¿Por qué no demostramos que las funciones utilizadas en física son continuas y diferenciables?

Question

He estudiado física hasta el 12º curso y me he dado cuenta de que siempre que se introducen nuevas ecuaciones para ciertas entidades, como una simple onda armónica, nunca se demuestra que sea continua en todas partes o diferenciable en todas partes antes de utilizar estas propiedades.

Por ejemplo, solemos utilizar esta propiedad que $v^2\cdot \frac{\partial^2f}{\partial x^2} = \frac{\partial^2f}{\partial t^2}$ se cumple para que la ecuación sea una onda, y personalmente he utilizado esta condición decenas de veces para comprobar si una función es una onda o no, pero nunca me han pedido que compruebe si la propia función que estoy analizando está definida en todas partes y tiene una doble derivada definida en todas partes.

¿Hay alguna razón para ello? Hay muchos más ejemplos pero este es el que se me ocurre.

Answer 1

Respuesta corta: no lo sabemos, pero funciona .

Como señala la pregunta comentada, todavía no sabemos si el mundo puede suponerse liso y diferenciable en todas partes. También puede ser discreto. Realmente no tenemos una respuesta para eso (todavía). ¿Y qué hacen los físicos cuando no tienen una respuesta teórica para algo? Utilizan La espada láser en llamas de Newton Una navaja filosófica que dice que "si funciona, es suficiente". Se pueden hacer experimentos con ondas, osciladores armónicos, y la ecuación que escribiste funciona. A medida que uno aprende más física, hay otras ecuaciones, y por ahora podemos realizar experimentos sobre casi todo tipo de cosas, y hasta que se consiga realmente raro como en los agujeros negros o más pequeños que los electrones, las ecuaciones que tenemos nos dan la respuesta correcta, por lo que seguimos utilizándolas.

Pregunta extra: supongamos que, el año que viene, tenemos una Teoría del Todo que dice que el universo es discreto y no diferenciable. ¿Crees que la aplicabilidad de la ecuación de onda cambiaría? Y los resultados, ¿serían menos correctos?

Answer 2

Muchos físicos dirían que no importa que las soluciones de las ecuaciones físicas sean suaves, siempre que se puedan obtener predicciones significativas a partir de ellas. Este punto de vista es demasiado simplista. Hay circunstancias en las que aparecen características no suaves en las soluciones de las ecuaciones físicas y son en sí mismos muy significativos . La razón por la que las clases de física de los institutos no se preocupan por estas cuestiones es simplemente que suelen estar fuera del alcance de lo que se puede enseñar en una clase de este tipo.

Un ejemplo clásico de discontinuidad significativa en un sistema físico es una onda de choque. En algunas ecuaciones de onda (no lineales), la solución empieza siendo suave, pero acaba siendo discontinua en un tiempo finito. Estas discontinuidades nos dicen algo útil: pueden aparecer en la vida real como ondas de choque en la dinámica de fluidos o atascos en los modelos de tráfico. Un ejemplo de Ecuación de Burgers se muestra a continuación.

Las discontinuidades pueden formarse en muchos otros sistemas, especialmente en los de materia condensada, e indican la presencia de defectos . Algunos ejemplos son vórtices en los superfluidos (mostrados abajo) y dislocaciones en los cristales. La forma en que se comportan estos defectos suele desempeñar un papel dominante en el comportamiento general (es decir, en la termodinámica) del material.

Una de las principales razones por las que es útil examinar lo que ocurre cuando las ecuaciones de la física se rompen es que son precisamente las circunstancias en las que podemos aprender sobre la nueva física. Por ejemplo, el comportamiento cerca de las discontinuidades en las ecuaciones de ondas no lineales puede ser difusivo (en el que la discontinuidad se difumina en el tiempo) o dispersivo (en el que la discontinuidad se irradia en forma de ondas más pequeñas), y saber cuál es nos dice algo sobre la estructura microscópica del fluido. Por esta razón, identificar dónde fallan las ecuaciones físicas bien propuesto o auto coherente es realmente importante. Hay un famoso problema abierto en matemáticas conocido como Existencia y suavidad de Navier-Stokes cuya importancia puede pensarse así. Si las ecuaciones de Navier Stokes resultan generar discontinuidades en tiempo finito, podría tener profundas implicaciones para la comprensión de los fenómenos turbulentos.

Una teoría física en la que el rigor matemático está especialmente lejos de estar establecido es la teoría cuántica de campos. La QFT es famosa por tener un montón de cálculos que arrojan $\infty$ si se hace de forma ingenua. Las razones de esto no se entienden del todo, pero creemos que tiene que ver con el hecho de que hay teorías más fundamentales, aún desconocidas, que entran en acción a escalas de longitud muy pequeñas. Otro problema histórico relacionado con los disparates matemáticos en la QFT tiene que ver con la Bosón de Higgs : En ausencia de un bosón de Higgs, ciertos cálculos en QFT dan probabilidades superiores a 1, lo que es por supuesto imposible. La escala de energía a la que estos cálculos empezaron a romperse no sólo nos dijo que había una física que aún no entendíamos -es decir, que existía una nueva partícula por descubrir- sino que también nos dijo aproximadamente cuál tenía que ser la masa de la partícula.

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Por ello, es importante comprender la buena disposición de las teorías matemáticas de la física. ¿Por qué entonces la gente no se preocupa de esto en la física de la escuela secundaria? La respuesta es simplemente que nuestras teorías actuales de la física han sido tan bien refinadas que nuestros modelos para la mayoría de los fenómenos cotidianos son totalmente consistentes y no producen discontinuidades. Y la razón por la que nunca te piden que compruebes que tus soluciones son sensatas es simplemente que no quieren que te aburras, porque la respuesta es siempre afirmativa.

De hecho, hay algunos resultados muy generales en los campos matemáticos de los sistemas dinámicos y las ecuaciones diferenciales parciales que garantizan que la mayoría de las ecuaciones físicas tienen soluciones únicas y suaves. Una vez que se conocen algunos de estos teoremas, ni siquiera es necesario comprobar que la mayoría de las soluciones son suaves: la estructura de las propias ecuaciones lo garantiza. (Por ejemplo, la ecuación Teorema de Picard-Lindelof logra esto para la mayoría de los problemas de la dinámica de partículas newtoniana).

Answer 3

En general, se puede suponer que las funciones que se tratan en la física de la escuela secundaria tienen un comportamiento adecuado. Esto se da por supuesto y la mayoría de los estudiantes nunca lo cuestionan, ni siquiera se dan cuenta de que hay algo que cuestionar.

Incluso en la física más avanzada, hay una tendencia a no preocuparse por los detalles de los modelos matemáticos, siempre que produzcan resultados físicamente realistas que coincidan con los resultados experimentales. La mayoría de los físicos no cuestionan los supuestos fundamentales de un modelo hasta que éste predice una singularidad, una paradoja o algún otro resultado "patológico". E incluso entonces la solución a corto plazo suele ser evitar los resultados patológicos restringiendo el ámbito en el que se aplica el modelo.

Los matemáticos, por inclinación y formación, tienden a ser más cuidadosos. Lo que el físico ve como un enfoque de la realidad, el matemático lo percibe como una falta de rigor. Lo que para el matemático es riguroso, para el físico es excesivamente quisquilloso y pedante.

Como ejemplo, los ingenieros y físicos utilizarán alegremente la función delta de Dirac, mientras que un matemático señalará que $\delta(x)$ no es realmente una función (técnicamente, es un distribución ) y tratarla como si fuera una función puede llevar a resultados incorrectos. El matemático dice "si $\delta(x)$ es una función entonces cuál es el valor de $\displaystyle \int_{-1}^{1} \delta(x)^2 dx$ ?". El físico dice "¿en qué situación física necesitaría utilizar una integral tan extraña?".

Answer 4

La respuesta de @MauroGiliberti es genial, pero nosotros trabajamos con discontinuidades en la física como respuesta aquí dice. De hecho, en la relatividad general se realizan muchos análisis cuidadosos y rigurosos, ya que allí surgen fácilmente problemas de suavidad/singularidad.

Sin embargo, la física newtoniana es muy intuitiva y fácil. No se trata de entidades matemáticas aleatorias, sino de entidades que describen el mundo real.

Por ejemplo, la caída de una roca desde la altura $h_0$ . La ecuación del movimiento es $md^2h/dt^2=F,$ donde F es la fuerza. ¿Es necesario demostrar que $h$ es dos veces diferenciable en todas partes y que $F$ ¿es la función? Por supuesto que no, ya que sabemos cómo se supone que se comporta el sistema. Y no es dos veces diferenciable en todas partes (y la fuerza no es de hecho función), ya que el movimiento de la roca es descrito por esta función: $$h(t)=\left(h_0-\frac{1}{2}gt^2\right)H(\sqrt{2h_0/g}-t),$$ donde $H$ es la función de paso del lado pesado.

Por el mecanismo de la gravitación sabemos que antes de que la roca toque el suelo, se supone que el sistema se comporta bien y también sabemos lo que ocurre cuando la roca toca el suelo. Por ello, nunca se ve un análisis como este en una clase de física, donde se utiliza una función de paso discontinua de lado pesado en la solución a la simple caída de la roca.

Nunca me han pedido que compruebe si la función que estoy analizando está definida en todas partes

¿Por qué habría que definirlo en todas partes? Cuando analizas la onda, te preocupas por lo que observas. No te importa lo que ocurre con esta onda en el otro lado del universo. Por lo tanto, es mejor que el cálculo sea independiente de lo que ocurre allí.

El físico sólo tiene alguna idea sobre el mecanismo de cómo se supone que funciona el universo, y tiene alguna comprensión intuitiva de por qué las matemáticas que utiliza se supone que lo representan correctamente. Entonces puede suponer que las funciones se comportan bien, como exige la física. A veces incluso utiliza las matemáticas de forma incorrecta a sabiendas, porque puede tener razones para pensar que esta manipulación incorrecta sí representa el mecanismo que tiene en mente.

Luego sólo comprueba si los resultados coinciden con los experimentos. Si lo hacen, creará trabajo para muchos matemáticos que intentan dar algún sentido a lo que hizo. Y no siempre tienen éxito. Tomemos como ejemplo la física estadística. Tiene 100 años, ha producido una enorme cantidad de pruebas de que funciona, pero los matemáticos siguen luchando por demostrar que los cálculos son, de hecho, consecuencia de las leyes conocidas de la física.

Answer 5

Sólo para seguir un poco a @MauroGiliberti, una de las principales razones para el uso de la espada láser flamígera de Newton es el contexto en el que trabajan la mayoría de los físicos. La física matemática suele ocuparse de modelos del mundo real. Un modelo, por su propia naturaleza, no es una representación perfectamente exacta del fenómeno en cuestión, sino una aproximación útil. Esto sigue siendo cierto incluso si el modelo es muy preciso.

Por lo tanto, incluso si el sistema subyacente es discreto, si su granularidad es tal que puede modelarse razonablemente como un proceso continuo, entonces una función continua es adecuada para el propósito.

Esto ocurre también en otros campos. La economía y las finanzas matemáticas toman prestados y reutilizan una gran cantidad de modelos físicos para modelar el flujo de dinero en una economía o para fijar el precio de los instrumentos financieros. Técnicamente hablando, el dinero es discreto. Sin embargo, cuando las sumas son lo suficientemente grandes, bien puede ser una cantidad continua, ya que su grano se vuelve tan fino que es prácticamente liso.