¿Por qué muchas personas de enlace de la entropía en el caos?

Question

Entiendo que, en termodinámica, la entropía tiene una definición precisa (la infinitesimal cambio de entropía de ser el infinitesimal de transferencia de calor dividido por la temperatura), y que en la mecánica estadística, para un sistema compuesto de un gran número de subsistemas idénticos, por así decirlo, es el registro del número de posibles distribuciones de los subsistemas, correspondiente a ciertos niveles de energía.

Y por lo que entiendo, la Segunda Ley de la Termodinámica dice básicamente que, para algunos sistemas simples, tales como dos embalses a diferentes temperaturas, conectados unos con otros (y aislada del resto), el calor pasa de caliente a frío, por lo que el hecho de que la entropía quiere ser tan grande como sea posible, es similar a los sistemas de ir hacia un estado de equilibrio (al menos para sistemas simples, tales como el de arriba).

(Por favor, perdóname si mis descripciones de aquí no son tan precisos desde un punto de vista físico, porque yo no soy físico, sólo un matemático.)

Bien. Pero con frecuencia ver a la gente la vinculación de la entropía en el caos. Supongo que hay algunos trabajos científicos que se inició este tren de pensamiento, y de los medios de comunicación mantiene el estiramiento de las palabras más y más. Puede por favor alguien que me señale que el trabajo científico? También, es el vínculo entre la entropía y el caos válido, en los ojos de los físicos modernos?

He visto un par de preguntas que se superponen con la mía, pero no he encontrado la respuesta exacta a mi pregunta.

Answer 1

Yo diría que la conexión entre el caos y la entropía es a través de ergodic theory, y el supuesto fundamental de la mecánica estadística de que un sistema con una determinada energía tiene la misma probabilidad de ser encontrado en cualquier "microestado" con esa energía.

Aunque el caos es un aspecto muy general de los sistemas dinámicos Hamiltonianos caos (encontrados en la mecánica clásica) se caracteriza por una escasez de cantidades conservadas, como la energía, y el total lineal/angular momentum. El hecho crucial es que no se de que estas cantidades conservadas son simplemente difíciles de encontrar, pero que ellos no existen. Debido a esto, las trayectorias de un sistema dinámico caótico se traza una alta dimensión submanifold de espacio de fase, en lugar de un simple 1 dimensiones de la curva. Cada trayectoria a nivel local es 1 dimensiones, pero si miraba el conjunto de todos los puntos en el espacio de fase trazada a lo largo del tiempo, que iba a encontrar un mayor espacio tridimensional, con dimensión de $2D-N_C$ donde $N_C$ es el número de la conservaba en cantidades.

En la mayoría de los muchos sistemas del cuerpo, $N_C$ es finito, o al menos subextensive (es decir, cualquier "oculto" de las leyes de conservación son insignificantes en la escala de límite como el volumen y el número de partículas ir hasta el infinito, mientras que el mantenimiento de los parámetros intrínsecos tales como la densidad y la temperatura constante). Una toma total de la energía como el más importante conserva la cantidad, y el resto es de libro de texto de la mecánica estadística.

Ahora, el tipo exacto de comportamiento no-lineal que introducir ergodicity para el sistema es generalmente ignorado en la física, debido a que todo lo absorbe y emite radiación, que casi siempre hace que los sistemas para alcanzar el equilibrio. Sin embargo, va un paso más a considerar la posibilidad de auto-termalización de no-lineal de las ecuaciones de onda históricamente conducir al descubrimiento importante de Fermi-Pasta-Ulam problema. En esencia, el descubrimiento fue que muchos de ecuaciones diferenciales no lineales han escondido las leyes de conservación que causa la heurística argumento descrito anteriormente para romper.

Answer 2

Voy a tener que estar en desacuerdo que los conceptos de entropía son disjuntas. Voy a intentar explicar mi punto de vista.

En la Mecánica Estadística de la entropía se define en términos de accesibilidad de las regiones en el espacio de fase. Es el logaritmo de este volumen veces una constante. En el proceso de derivación de esta fórmula a partir de la número de configuraciones accesibles se postula que todas las configuraciones deben ser igualmente accesibles. Este postulado se llama la Ergodic Hipótesis. Ya que eres un matemático creo que probablemente usted está familiarizado con el término ergodic: es un sistema cuya evolución conserva medida (en nuestro caso, de Liouville medida, que es la medida de Lebesgue en el espacio de fase). Ahora, no todo sistema es ergodic. Aunque, las estimaciones pueden ser llevadas a cabo y punto de que, en general, de gas, que cuenta con un gran número de partículas, no ergodicity resultaría en un muy pequeño error en la Física de las mediciones (Laudau hace que en su primer volumen de la Termodinámica). Aunque, como los sistemas de spin gafas son ejemplos canónicos de la no-ergodic sistemas donde usual de la Mecánica Estadística no es aplicable.

Usted puede ver que el ergodic hipótesis es una suposición clave en la Mecánica Estadística. Pero, ¿qué caos significa que en la Mecánica Clásica? Bueno, significa que sus trayectorias se cubren todo su espacio de fase. Si usted toma un sistema caótico (que no es sólo ergodic pero también fuertemente la mezcla), la partícula de la trayectoria de cubrir todos y cada uno de los bits de espacio de fase accesible, delimitado por las leyes de conservación de la energía.

La conclusión es que si usted asume la Mecánica Estadística como aplicable, este es el mismo suponiendo que usted no puede predecir las trayectorias en el espacio de fase, ya sea porque tiene demasiadas condiciones iniciales o porque no se puede rastrear cada trayectoria, y después de un tiempo infinito sino que también va a cubrir todo el espacio de fase. Esto está intrínsecamente conectado con la noción de caos en la Mecánica Clásica.

En la Termodinámica creo que nadie realmente entiende lo que la entropía significaba, así que no se puede elaborar en la. Sólo se hace evidente en la Mecánica Estadística.

Answer 3

El (física) concepto de entropía es predominantemente aplicada a muchos-sistemas de partículas. Podemos considerar un sistema como un sistema de partículas, cuya dinámica de las variables comprenden las posiciones, los ímpetus, y otras propiedades de la variable de todas las partículas. Puede presentar, en teoría, los tres tipos de dynmical comportamientos:

1. Una de pocas dimensiones regulares (es decir, no caótica), la dinámica, es decir, un punto fijo, periódico o quasiperiodic1 uno. La dinámica de este tipo son posibles para muy bajas temperaturas, por ejemplo, un completo sistema congelado correspondería a un punto fijo de la dinámica y sencilla celosía que las vibraciones corresponden a periódicos de la dinámica. Para temperaturas más altas, sin embargo, la dinámica de este tipo no se corresponden a lo que observamos en la realidad y simulaciones.

2. Una alta dimensión regular la dinámica, es decir, un quasiperiodic1 dinámica. Tal sistema podría ser descrito como la superposición de muchas periódica independiente de los procesos, cada uno con una diferente, inconmensurable frecuencia. Si bien estos procesos no tiene que afectar a una sola partícula, sino que más bien podría ser confuso, no hay ninguna razón por qué no podría interactuar en todo (para una temperatura alta y lo suficientemente numerosos procesos). Por otra parte, se puede argumentar que las altas dimensiones quasiperiodicity es prácticamente indistinguible del caos.

3. Una alta dimensión de dinámica caótica.

Por lo tanto, tiene sentido decir que un sistema que tiene una entropía (es decir, cuya temperatura no está cerca del cero absoluto) también exhibe una dinámica caótica en el nivel microscópico. Pero esto no quiere decir que los dos son el mismo. En un multi-sistema de partículas, no es la mera presencia de la entropía que nos importa, sino cómo y cuando se aumenta. Así, la entropía y el caos son tan vinculados como la entropía y temperatura, o, digamos, de la masa y de la inercia.

Señaló que este no es realmente acerca de ergodicity. Los sistemas complejos con insuperables barreras de energía (considere la posibilidad de girar las gafas) todavía pueden ser caótica, y cuasiperiódicos dinámica puede ser ergodic (considere el ejemplo de una partícula que se mueve en una cuadrática toro, que es ergodic y cuasiperiódicos si los componentes de su impulso son inconmensurables, pero el periódico y no ergodic lo contrario).

Por último, tenga en cuenta que la teoría de la información concepto de entropía se utiliza para caracterizar los sistemas dinámicos y a distinguir entre el caos y la regularidad, pero supongo que este no es el motivo de su pregunta.

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^{1 Cuasiperiódicos dinámica dinámica, que puede ser descrito como una superposición de al menos dos periódicos de la dinámica, pero no son periódicos (que es la razón por la que las frecuencias de las sub-dinámica no debe ser conmensurables, es decir, tienen un común múltiplo). Mientras que el espacio de fase de un periódico de la dinámica topológica círculo, el espacio de fase de un cuasiperiódicos dinámica es un toro o hypertorus.}