Derivación del método de Newton por intervalos

Question

Vi esta fórmula en mi texto sobre el análisis de intervalos $$X^{(k+1)} = X^{(k)} \cap N(X^{(k)}) \\ k = 0,1,2,...$$ Donde $$N(X^{(k)}) = m(X^{(k)}) - \frac{F(m(X^{(k)}))}{F'(X^{(k)})})$$ X es un intervalo digamos [a,b] . Si bien es similar al método de Newton ordinario, no consigo averiguar cómo tratar la intersección. ¿Alguien puede ayudar a probar esto o más bien me señala a un material donde se derivó la fórmula

Answer 1

La intersección de dos intervalos $[a_1,b_1]$ , $[a_2,b_2]$ está vacío si $b_1<a_2$ o $b_2<a_1$ Si no es así, es $$[\max(a_1,a_2),\min(b_1,b_2)].$$

Si $x^*$ es una raíz en $X=[a,b]$ entonces $0=f(x^*)=f(m)+f'(\xi)(x^*-m)$ para algunos $\xi\in[a,b]$ . Así, $x^*\in N(X)$ , pero otros puntos de la derivada podrían llevar a puntos fuera del intervalo. De ahí que la intersección para mantener la complejidad de los conjuntos resultantes sea baja.