Orden mixto y recuento desordenado

Question

Si te interesa el recuento ordenado o desordenado puedes utilizar nCr o nPr. Pero si quieres unos cuantos en un determinado orden y unos cuantos desordenados ¿hay algún enfoque general?

Por ejemplo, imagina que tienes 6 bolas rojas y 5 azules y seleccionas 3 bolas.

Qué tamaño tiene el conjunto de bolas donde la primera es azul y las dos restantes son rojas.

He determinado que son 25.

Si el orden no importara podrías tener (6 rojos elegir 2 rojos) * (5 azules elegir 1)=75

Entonces, por simetría, un tercero debe empezar por el azul. Así que 75/3=25 RRB BRR RBR

Me pregunto si hay una manera más general de pensar en este problema.

Answer 1

Desordenado. Veamos esto para el caso en que el orden no importa.

En total hay ${11 \choose 3} = 165$ formas de elegir 3 bolas entre 11 sin tener en cuenta el orden.

Como usted dice, hay cinco maneras de elegir la bola azul y ${6 \choose 2} = 15$ formas de elegir las dos bolas rojas.

Entonces, si el orden no importa, la probabilidad de obtener una bola azul y dos rojas es $75/165 = 0.4545.$

Ordenado. En primer lugar, podemos obtener la respuesta desde arriba. Como dices, si ordenamos al azar las opciones no ordenadas, entonces 1/3 de ellas tendrán la bola azul primero. Así que esa es la probabilidad $0.4545/3 = 0.1515.$

En segundo lugar, podemos trabajarlo directamente como un problema ordenado: Elige la bola azul con probabilidad $5/11.$ A continuación, elige dos bolas rojas (de orden indistinto) con probabilidad $\frac{6}{10}\cdot\frac 5 9 = \frac 13.$ Así que la probabilidad de BRR es $5/75 = 0.1515.$

Simulación para muestras desordenadas. Para facilitar el recuento, dejemos que las bolas azules estén representadas por 0 s y bolas rojas por 1 s. El siguiente código R hace una simulación de un millón de experimentos eligiendo 3 bolas, y encuentra la proporción de resultados con dos bolas rojas. Con un millón de iteraciones podemos esperar una precisión de dos o tres lugares.

set.seed(720)    # For reproducibility
urn = c(0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1)
nr.red = replicate(10^6, sum(sample(urn,3)))
mean(n.,red==2)
[1] 0.454439

El número de bolas rojas elegidas al azar de la urna sin reemplazo tiene una distribución hipergeométrica. El histograma de abajo muestra los resultados de la simulación, los puntos rojos muestran las probabilidades hipergeométricas exactas.

hdr="Numbers of Red Balls Chosen"
hist(nr.red, prob=T, br=(-1:3)+.5, col="skyblue2", main=hdr)
 x=0:3; pdf=dhyper(x, 6, 5, 3)
 points(x,pdf,pch=19,col="red")