Encontrar todas las formas posibles de Jordan de un $ 8\times 8$ matriz dada el polinomio mínimo

Question

Encuentre todas las formas jordanas posibles de un $ 8\times 8$ matriz dado que $$t^2(t-1)^3$$ es el polinomio mínimo.

No sé muy bien por dónde empezar, así que se agradecería toda la ayuda.

Answer 1

Dejemos que $J(\alpha,k)$ sea el bloque superior de Jordan con el polinomio mínimo $(t-\alpha)^k$ . $$ \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 0 & \ldots & \ldots\\ 0 & \alpha & 1 & 0 & \ldots \\ 0 & 0 & \alpha & \ddots & \ddots\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots \end{pmatrix} $$ Así pues, existe -hasta la conjugación- una posible forma superior de Jordan de su matriz, en dimensión 5 (véase el final) $$ \begin{pmatrix} J(0,2) & 0\\ 0 & J(1,3) \end{pmatrix} $$ Ahora, tienes que extenderlo a la dimensión 8. Llamando a $p_1,p_2,\cdots p_k$ (resp. $q_1,q_2,\cdots q_l$ ) los órdenes de los bloques de Jordan para el valor propio $0$ (resp. los órdenes de los bloques de Jordan para el valor propio $1$ ), se tiene $$ \sum_{i=1}^k p_i+\sum_{i=1}^l q_i=8 $$ $p_i\leq 2,\ q_i\leq 3$ y al menos uno de los $p_i=2$ al menos uno de los $q_i=3$ .

Espero que le sirva de ayuda.