¿Dónde está el problema cuando una categoría no es localmente pequeña?

Question

El punto de partida es el siguiente: hay una forma muy sencilla de construir categorías de homotopía estables para categorías pequeñas formando una categoría de fracciones (por ejemplo, la utilizada por Higson en su construcción de la teoría E). Por otra parte, para construir tales categorías en un entorno más general, se utilizan categorías trianguladas o la construcción de Spanier-Whitehead.

Ahora bien, en principio, si sólo se utilizan categorías de fracciones, no se consigue que los homomorfismos entre objetos fijos formen una clase. ¿Por qué es esto exactamente un problema?

Answer 1

La cuestión clave es el fracaso de la localización de Bousfield. Supongamos que empezamos con una categoría de homotopía localmente pequeña $\mathcal{C}$ (así $\mathcal{C}(X,Y)$ es un conjunto para todo $X$ y $Y$ ) y una clase de morfismos $S$ . Podemos entonces formar la categoría de fracciones $\mathcal{C}[S^{-1}]$ pero no es necesario que sea localmente pequeño. Dado un objeto $Y\in\mathcal{C}$ se puede preguntar si existe un objeto $Y[S^{-1}]\in\mathcal{C}$ con un isomorfismo natural $$\mathcal{C}(X,Y[S^{-1}])\simeq\mathcal{C}[S^{-1}] (X,Y)$$ para todos $X\in\mathcal{C}$ . Está claro que si $Y[S^{-1}]$ existe para todos los $Y$ entonces $\mathcal{C}[S^{-1}]$ debe ser localmente pequeño. Hay varios buenos teoremas que dicen que esta condición es suficiente además de necesaria, bajo ciertos supuestos auxiliares. Los funtores de la forma $Y\mapsto Y[S^{-1}]$ se utilizan ampliamente en la teoría de la homotopía, por lo que esta cuestión es importante. La teoría de las categorías modelo de Quillen ofrece un marco útil en el que a menudo se puede demostrar que $\mathcal{C}[S^{-1}]$ es localmente pequeño.