¿Qué hace que las categorías populares sean tan populares?

Question

Si conoce las categorías finitas, sabrá que existen muchas categorías. Hay muchas, muchas categorías. Sin embargo, curiosamente, las matemáticas en su conjunto parecen interesarse sólo por algunas de ellas. Conjuntos, grupos, colectores, espacios vectoriales, etc. Ahora bien, es obvio que no hay infinitos matemáticos trabajando durante infinitas horas para investigar todas las categorías. Sin embargo, ¿hay alguna forma de especificar por qué se han elegido las pocas categorías que aparecen en la literatura?

La conjetura en la que he trabajado durante mucho tiempo tenía que ver con las categorías localmente presentables de forma finita. Mi primera conjetura fue que las categorías compactas en CAT eran las conocidas, luego pensé que eran las colimitas sobre categorías compactas, y luego ambas. No me llevó a ninguna parte.

Answer 1

Supongo que se trata más de la popularidad de los objetos de las categorías que citas que de las propias categorías. Los conjuntos, los grupos, los colectores, los espacios vectoriales, etc. están aquí desde hace mucho tiempo en las matemáticas (aunque no se hayan formalizado como tales en los primeros años), por lo que la comprensión de esos objetos es algo que los matemáticos pueden llegar a comprender. De ahí que sea muy natural que recurran a esos objetos cuando intentan desarrollar nuevas ideas en un nuevo formalismo. A riesgo de parecer caricaturesco, recuerde cuando aprendió por primera vez sobre los anillos: ¿habría preferido entonces tener $\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R$ etc. como ejemplos o las funciones Haar-integrables en un grupo topológico Hausdorff localmente compacto?

También hay que tener en cuenta que su visión de lo que es popular es de facto subjetivo. Por ejemplo, en mi laboratorio, tendría más posibilidades de vender alguna propiedad categórica basada en $\mathsf{Rel}$ en lugar de en $\mathsf{Vect}_k$ o en algún topos elemental abstracto en lugar de en $G$ -conjuntos para un grupo $G$ . No quiero ni pensar en la cara de asombro que se me pondría al intentar explicar algo interpretándolo en la categoría de grupos de Lie. Las matemáticas cotidianas son muy diferentes de un matemático a otro.