Por qué funcionar $j(\tau)$ tiene grado 1?

Question

Tenemos

$$ j(\tau)=\frac{1}{q}+\sum_{n=0}^{\infty}a_nq^n, a_n\in\mathbb{Z},q=e^{2\pi i\tau} $$

Entonces se dice que porque $j$ es simple, $j$ tiene grado 1 como un mapa $j:X(\text{SL}_2(\mathbb{Z}))\rightarrow\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ .

Mi pregunta es, ¿por qué podemos deducir esto de que " $j$ ¿"El único polo es simple"?

Answer 1

El $j$ -es un mapa holomorfo de una superficie compacta de Riemman (la terminación de $\mathcal H/\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ ) a otra (la esfera de Riemann). El único lugar donde tiene un polo es en la "cúspide" $\infty$ de su dominio, y este polo es sencillo. Por tanto, la preimagen de $\infty$ en la esfera de Riemann (es decir, la parte polar del divisor de $j$ ) consiste en un único punto. Pero el número de puntos (contados con las multiplicaciones correctas) en la preimagen de cualquier punto de un grado $d$ entre superficies compactas de Riemann es igual a $d$ . (Si los puntos que se encuentran por encima de un punto determinado tienen ram. grados $e_1,\ldots,e_n$ entonces esta es la fórmula $\sum_i e_i = d$ .) Aplicando esto a $j$ encontramos que $d = 1$ .

Answer 2

$j$ es periódica de periodo 1, por lo que $j$ se define en realidad en $\mathcal{H}/\mathbb{Z}$ que es biholomorfo al disco unitario bajo el mapa $\tau \to e^{2 \pi i \tau}$ . Así, cuando consideramos $j$ como una función meromofica en el disco unitario, por la serie que has escrito, puedes ver que $j$ sólo tiene un polo (en el 0 del disco, correspondiente a $\infty$ del medio plano superior). El término principal es $1/q$ significa que el polo es simple.