Si $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy, entonces tiene una subsecuencia tal que $\|x_{n_k} - x_{n_{k-1}}\| < 1/2^k$

Question

Si $X$ es un espacio lineal normado y $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy en $X$ entonces $x_n$ tiene una subsecuencia $x_{n_k}$ que satisface $$\|x_{n_k} - x_{n_{k-1}}\| < \frac 1 {2^k}$$ por cada $k > 0$ .

¿Por qué es cierta esta afirmación?

Answer 1

La definición de la secuencia de Cauchy comienza diciendo "para cada $\varepsilon>0$ ". Lo que es cierto para TODOS los números positivos es cierto para $1/2^kn$ .

Answer 2

Supongamos que $(x_n)_{n\in N}$ es una secuencia de Cauchy. Sea $(a_n)_{n\in N}$ sea cualquier secuencia de números positivos monótonamente decreciente. Sea $g(1)$ ser el menor (o ninguno) $n$ tal que $\forall n'>n\;(|x_n-x_{n'}|<a_1).$ Recursivamente, dejemos que $g(j+1)$ ser el menor (o ninguno) $n>g(j)$ tal que $\forall n'>n\;(|x_n-x_{n'}|<a_{n+1}).$ La subsecuencia $(a_{g(n)})_{n\in N}$ satisface $\forall n\;(|x_{g(n)}-x_{g(n+1)}|<a_n)$ . En particular, podemos elegir $a_n=2^{n+1}$ para cada $n\in N$ .