Consideremos una cavidad cilíndrica con sección circular de radio R. La altura del cilindro es d; las paredes se consideran como un conductor perfecto. Me encuentro con una dificultad para encontrar los modos TM dentro de esa cavidad, estoy siguiendo el libro de Jackson (~ p.368, 3ª ed.).
Para los modos TM, estamos tratando de encontrar $E_z=\psi(x,y)e^{\pm ikz}$ de la que podemos obtener el campo transversal como $\vec E_t=\pm\frac{ik}{\gamma ^2} \nabla _t \psi$ . Donde el operador nabla es el gradiente transversal, es decir, no hay derivada con respecto a z, la coordenada junto a la altura del cilindro. En coordenadas cartesianas $\nabla _t =\frac{\partial}{\partial x} \hat x + \frac{\partial}{\partial y} \hat y$ .
Ahora bien, como la cavidad es un conductor, el campo eléctrico debe ser perpendicular a su superficie. Así que para la $z=0$ plano x-y que significa que $\vec E_t$ debe desaparecer allí, así como para el plano x-y en $z=d$ .
Según Jackson, la dependencia de los campos con respecto a la variable z es $A \sin kz + B \cos kz$ (lo que tiene sentido). Luego dice que la desaparición de $\vec E_t$ en el $z=0$ y $z=d$ paredes implica que $E_z=\psi(x,y) \cos \left ( \frac{p \pi z}{d} \right )$ Aquí es donde radica mi problema. Parece que no puedo dar sentido a esta expresión.
Lo entiendo ya que en la expresión de $E_t$ el gradiente de psi no se ocupa de la variable z, entonces $E_z$ debe desaparecer en ambos $z=0$ y $z=d$ para que $E_t$ para desaparecer allí también. Y esto implica que $E_z =\psi(x,y) \sin \left ( \frac{p \pi z}{d} \right )$ , $p\in \mathbb{Z}$ . La verdad es que no veo cómo puede haber un coseno ahí, en lugar de un seno. He comprobado en el libro de Zangwill así como en la web y todos parecen coincidir en el término coseno. También he comprobado la página web de las erratas de Jackson y no parece haber ningún error allí. No veo qué me estoy perdiendo.
