Transformaciones de un campo gauge zurdo

Question

En una serie de conferencias que estoy viendo sobre la Teoría del Campo Efectivo el profesor introduce un campo vectorial de espurión, $\ell_\mu$ . Luego dice que lo tomamos para transformarlo como un "campo gauge de izquierda" y escribe, $$\begin{equation} \ell ^\mu \rightarrow L (x) \ell ^\mu L ^\dagger (x) + i \left(\partial _\mu L (x) \right) L ^\dagger (x) \end{equation}$$ donde $L (x)$ es la matriz de transformación. Nunca me he encontrado con un campo gauge zurdo y, ingenuamente, sólo habría incluido la primera parte, $L \ell L^\dagger$ . ¿Cómo consiguió esta ley de transformación?

Aunque la pregunta es independiente, para más contexto no dude en echar un vistazo a mi notas de clase en la Teoría del Campo Efectivo (pg 53).

Answer 1

La derivada covariante gauge viene dada por $$\begin{equation} D _\mu \psi = \partial _\mu \psi - i g W _\mu ^a t _a \psi \end{equation}$$ reordenamiento da, $$\begin{equation} i g W _\mu = \partial _\mu \psi - D _\mu \psi \end{equation}$$ donde escribimos $W_\mu \equiv W_\mu^a t _a$ . Bajo una transformación gauge tenemos, $$\begin{align} i g W _\mu \psi & \rightarrow \partial _\mu \left( L (x) \psi \right) - L (x) D _\mu \psi \\ i g W ' _\mu L\psi & = ( \partial _\mu L ) \psi + L \partial _\mu \psi - L D _\mu \psi \\ i g W ' _\mu \psi '& = ( \partial _\mu L ) L ^\dagger L \psi + L W_\mu L^\dagger L \psi \\ i g W ' _\mu \psi ' & = \left((\partial_\mu L ) L ^\dagger + L W _\mu L ^\dagger \right) \psi' \end{align}$$ lo que implica que un campo gauge se transforma como $$\begin{equation} i g W _\mu \rightarrow (\partial_\mu L ) L ^\dagger + L W _\mu L ^\dagger \end{equation}$$