¿Por qué se toma el centro de masa como integral de $x.dm$ y no $m.dx$ ?

Question

Perdóname si estoy siendo ingenuo, pero, no entiendo por qué el $x$ -La coordenada del centro de masa se toma como una integral de $x.dm$ y no $m.dx$ ?

Entiendo la parte de la suma, pero ¿cómo la convertimos en una integral? Podría ser perfectamente una pregunta de matemáticas, ya que los fundamentos del cálculo, al pertenecer al ámbito de la física, pensé que también podría serlo.

Además no es el $x$ -la cantidad independiente al igual que el tiempo es la cantidad independiente para cuando escribimos la aceleración como la integral de $v.dt$ ? ¡Esto es realmente preocupante!

Answer 1

Integramos $x\, dm$ para decir "por cada pieza de masa $dm$ , suma la cantidad de masa por la coordenada $x$ de esa masa".

Es intuitivo integrar sobre $m$ porque cada pieza de masa tiene un $x$ -coordinar. Igualmente, en cinemática, tiene sentido intuitivo integrar sobre $t$ porque por cada $t$ tenemos una velocidad $v(t)$ .

Sin embargo, el cálculo funciona en ambos sentidos; se puede invertir la integración en $x$ si quieres. Por ejemplo, por la regla de la cadena, $x\, dm = x (dm/dx)\, dx = \rho(x) x\, dx$ , donde $\rho$ es la densidad. Esta es también una forma totalmente válida de calcular el centro de masa: "para cada intervalo $dx$ , suman la cantidad de masa $\rho(x)\, dx$ allí se repite la coordenada $x$ ".

Podríamos preguntarnos cómo se integra uno con respecto a $m$ ? Bueno, el 99% de las veces se hace lo que yo acabo de hacer, dar la vuelta a la integración para que sea sobre $x$ . Pero preferimos escribir la ecuación en el $dm$ forma porque es conceptualmente más simple. Para un ejemplo trabajado, véase aquí .

Answer 2

El centro de masa es una media posición de un conjunto de masas, teniendo la posición de cada masa un factor de importancia/probabilidad directamente proporcional a la masa. Cuando se encuentra una media de alguna cantidad Y que tiene importancia p hacemos lo siguiente: $$\langle Y\rangle =\frac{\sum_j Y_j p_j}{\sum_j p_j}.$$

Para el centro de masa, $Y_j\to x_j$ y $p_j\to m_j$ . Para un cuerpo continuo, dividimos el cuerpo en quintillones de masas realmente pequeñas y hacemos la suma, que ahora puede convertirse en una integral, sumando las pequeñas masas, d m multiplicado por la posición x porque cada pequeña masa tiene una posición, y la masa nos indica la importancia de la posición. Pero para realmente hacer la integral, hay que encontrar la función m(x) y luego encontrar d m en términos de d x .

Así que la integral es en realidad la suma del producto de la posición $\times$ importancia de la posición, donde el factor de importancia es la masa entre x y x+ d x .