Integrando $\int_{0}^{\infty} \frac{(\log x)^2}{x^2+x+1}$ utilizando el teorema del residuo

Question

Sólo por curiosidad, ¿cómo se integra algo así utilizando la teoría de los residuos?

$$\int_{0}^{\infty}\frac{(\log x)^2}{x^2+x+1} dx$$

Según Wolfram Alpha, el respuesta est $\dfrac{16\pi^3}{81\sqrt{3}}$ .

He visto integrales similares antes, como aquí y aquí y todos ellos requieren aparentemente algún tipo de ingenio. Estoy seguro de que Ramanujans locales vendrá pronto al rescate. :)

Answer 1

Sugerencia ;

Defina la siguiente función $$f(z)=\frac {\log^3 (z)}{z^2+z+1}$$ en un contorno de ojo de cerradura con corte de rama en el eje real positivo . La función tiene polos $z=e^{\frac{2\pi}{3}i},e^{\frac{4\pi}{3}i}$ Como la función es analítica en y sobre el contorno con los polos dentro del contorno podemos utilizar el teorema del residuo

$$\int^{\infty}_0 f(x)\, dx -\int^{\infty}_0 \frac{\left( \log(x)+ 2 \pi i \right)^3}{x^2+x+1}\, dx= 2\pi i \text{Res}\,\left( f(z) ; e^{\frac{2\pi}{3}i},e^{\frac{4\pi}{3}i}\right)$$

Nota:Podemos demostrar fácilmente que la integración alrededor de los círculos pequeños y grandes se aproxima $0$ .

Nota: la tercera potencia se anula y la primera potencia es igual a $0$ .

Answer 2

Ver: Glasser, Amer.Math.Monthly Vol.71,p.75 (1964)