¿Es esta generalización de un ejercicio en verdadera Stein?

Question

La pregunta siguiente es el ejercicio $14$ en el capítulo $2$ en Stein y Shakarchi del Análisis Complejo.

Supongamos que $f$ es holomorphic en un conjunto abierto que contiene a la cerrada de la unidad de disco, a excepción de un polo a $z_0$ sobre el círculo unidad. Demostrar que si $$\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$$ denotes the power series expansion $f$ in the open unit disc, then $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=z_0.$$

Una solución puede ser encontrar aquí o aquí. Un debate en los comentarios de uno de los enlaces de las preguntas que me impulsó a hacer otra pregunta.

Pregunta: ¿esta siendo cierto cuando 'polo' se sustituye por "esencial singularidad'?

Tengo la fuerte sospecha de que la respuesta es no, pero no puedo encontrar una conveniente contraejemplo. Parece que algo como $e^{\frac{1}{z-1}}$ debe proporcionar un contraejemplo, pero el cálculo que intervienen en el cálculo de la potencia de la serie de coeficientes es muy desordenado. Recuerdo que hay algunos de potencia estándar de la serie que la gente siempre se uso para demostrar que cualquier cosa puede suceder en el límite de un disco de convergencia, pero no puedo encontrarlos en el momento. Tal vez una de esas obras?

Answer 1

Versión corta. La función $$g(x,z)=\frac{1}{1-z} \exp\left(-\frac{xz}{1-z}\right) \tag1$$ es la generación de la función para los polinomios de Laguerre; es decir, $$g(x,z)=\sum_{n=0}^\infty L_n(x)\,z^n \tag2$$ Set $x=1$. La función de $g(1,z)$ tiene una singularidad esencial en a $z=1$ (es casi la misma que la función de la OP). Que la relación $L_n(1)/L_{n+1}(1)$ no $1$ (o cualquier otro número) de la siguiente manera a partir de la expansión asintótica
$$L_n(1)= \frac{\sqrt{e/\pi}}{n^{1/4}} \cos(2\sqrt{n}-\pi/4)+O(n^{-3/4}) \tag3$$ lo que muestra que $L_n(1)$ cambia de signo infinitamente a menudo (aunque cada vez más lentamente).

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Ya pero la auto-contenida versión. La función $$g(z)=\frac{1}{1-z} \exp\left(-\frac{z}{1-z}\right) \tag 4$$ satisface $g'(z)=-z\, g(z)/(1-z)^2$, la cual puede ser escrito como $$g'(z)-2zg'(z)+z(zg(z))'=0 \tag5$$ Conectar $g(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ en (5) y extraer el coeficiente de $z^n$, nos encontramos con $$(n+1)a_{n+1} - 2n a_n +n a_{n-1} =0,\quad n\ge 1 \tag6 $$

Supongamos $a_n$ tiene signo constante para $n\ge N$; sin pérdida de generalidad $a_n\ge 0$$n\ge N$. Haciendo $N$ más grandes, podemos organizar $a_N>0$. Sólo $n\ge N$ son considerados en la secuela.

Deje $\Delta_n=a_{n+1}-a_n$. A partir de (6) tenemos $$\Delta_{n+1} - \Delta_n = a_{n+1}-(2a_n-a_{n-1}) = -\frac{a_{n+1}}{n+1} \le 0 \tag7$$ Por lo tanto, $\Delta_n$ es un nonincreasing secuencia (que hace de $a_n$ un cóncavode la secuencia). Si algunos de $\Delta_n$ es negativo, la secuencia de $a_n$ también será negativo, contrario a la hipótesis. Por lo tanto, $a_n$ es no decreciente, por lo tanto $a_n\ge a_N$. Suma (7) $n=N,N+1,\dots , M$ tenemos $$\Delta_{M+1}-\Delta_N \le -a_N \sum_{n=N}^{M}\frac{1}{n+1} \tag8$$ Desde que la serie armónica diverge, (6) implica $\Delta_{M+1}<0$ grandes $M$, una contradicción.

Conclusión: $a_n$ cambia de signo infinitamente a menudo. En particular, $a_n/a_{n+1}\not\to 1$.

Comentario: (6) es el secreto de la recurrencia de la relación para Polinomios de Laguerre.