Sobre el producto directo de grupos abelianos

Question

1. Dado que $A$ y $B$ son grupos abelianos, demuestre que el producto directo de ellos $$A\times B$$ es un grupo abeliano.
2. Dado que $A\times B$ es un grupo abeliano, demuestre que $A$ y $B$ son ambas abelianas.

Utilicé la propiedad básica del producto de Descartes: $$(a,b)\cdot(c,d)=(a\cdot c,b\cdot d)$$ para demostrar cada argumento.

1. $(a,b)(c,d)=(ac,bd)=(ca,db)=(c,d)(a,b)$ ;
2. $(a,b)(c,d)=(c,d)(a,b)\implies (ac,bd)=(ca,db)\implies ac=ca, bd=db$ .

No estoy seguro de que esta propiedad del producto de Descartes pueda aplicarse a los grupos. Esta pregunta parece ser la número 30 de las 36 preguntas de un ejercicio, así que supongo que no es tan fácil.

Este es mi primer post, así que por favor, perdóname por cualquier error:)

Answer 1

Por supuesto que sí. Y de hecho estás utilizando la definición de producto directo de grupos; no hay nada malo en ello.