Resolver x^{15} \equiv 6 \pmod{7^2} .
Mi enfoque se basa en el lema de Hensel:
Primero vamos a resolver x^{15} \equiv 6 \pmod{7} , observe 3 es una raíz primitiva \pmod{7} Así pues, dejemos que x=3^y para conseguir 15y \equiv 3 \pmod{6} , resuelva para obtener y_1=1, y_2=3, y_3=5 , el correspondiente x son x_1=3, x_2=6, x_3=5
Ahora utilizo el lema de Hensel para elevar las soluciones a \pmod{7^2} . Por ejemplo, para x_1 uno tiene x_1^{15}-6=7 \times 2049843 y 15x_1^{14}=3^{15} \times 5 Por lo tanto 7^0||(15x_1^{14}) , resolver 2049843+3^{15} \times 5z_1 \equiv 0 \pmod{7} para conseguir z_1 \equiv 1 \pmod{7} Así que w_1=x_1+7 \times z_1=10 es una solución de la ecuación original.
Similar a w_1 uno puede levantar x_2,x_3 para conseguir w_2=6 y w_3=33 son las otras dos soluciones de la ecuación original \pmod{49} .
Pero, ¿se obtienen así todas las soluciones?