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¿El lema de Hensel da TODAS las soluciones a una ecuación de congruencia?

Resolver x^{15} \equiv 6 \pmod{7^2} .

Mi enfoque se basa en el lema de Hensel:

Primero vamos a resolver x^{15} \equiv 6 \pmod{7} , observe 3 es una raíz primitiva \pmod{7} Así pues, dejemos que x=3^y para conseguir 15y \equiv 3 \pmod{6} , resuelva para obtener y_1=1, y_2=3, y_3=5 , el correspondiente x son x_1=3, x_2=6, x_3=5

Ahora utilizo el lema de Hensel para elevar las soluciones a \pmod{7^2} . Por ejemplo, para x_1 uno tiene x_1^{15}-6=7 \times 2049843 y 15x_1^{14}=3^{15} \times 5 Por lo tanto 7^0||(15x_1^{14}) , resolver 2049843+3^{15} \times 5z_1 \equiv 0 \pmod{7} para conseguir z_1 \equiv 1 \pmod{7} Así que w_1=x_1+7 \times z_1=10 es una solución de la ecuación original.

Similar a w_1 uno puede levantar x_2,x_3 para conseguir w_2=6 y w_3=33 son las otras dos soluciones de la ecuación original \pmod{49} .

Pero, ¿se obtienen así todas las soluciones?

3voto

Sí, cuando se aplica el lema de Hensel, da todas las soluciones.

Una forma de ver por qué (la forma más simple de) el lema de Hensel es cierto no es más que simplemente resolver la ecuación

f(x + a p^k) \equiv 0 \pmod{p^{k+1}}

para a en una situación en la que f(x) \equiv 0 \pmod{p^k} y la serie de Taylor para f(x) tiene sentido y los términos de orden superior desaparecen, debido a las altas potencias de p involucrado:

f(x + a p^k) \cong f(x) + a p^k f'(x) \pmod{p^{k+1}}

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