Problema sobre la búsqueda de un submanifold integral de un rango suave- $2$ distribución .

Question

$\mathbf {The \ Problem \ is}:$ Dejemos que $V_{(x,y,z)}$ sea un rango- $2$ distribución en $\mathbb R^3$ abarcados por $V_1=(x^2+1)(\frac{\partial}{\partial{x}}-\frac{\partial}{\partial{y}})$ & $V_2=\frac{\frac{\partial}{\partial{y}}-\frac{\partial}{\partial{z}}}{x^2+y^2+z^2+1}.$

Mostrar que es un $2$ -y encontrar el submanifold integral de $V$ pasando por el origen .

$\mathbf {My \ approach}:$ La parte lisa está bien .

Para la segunda parte, estaba tratando de encontrar curvas integrales de $V_1$ & $V_2$ a través de $(0,0,0).$

Para $V_1$ es $t \mapsto (\tan t,-\tan t,0)$ pero

si $\gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t),\gamma_3(t))$ ser I.C. de $V_2$ vía origen entonces :

$\frac{d\gamma_2}{dt} =\frac{1}{1+(\gamma_2)^2+(\gamma_3)^2}$ & $\frac{d\gamma_3}{dt} =-\frac{1}{1+(\gamma_2)^2+(\gamma_3)^2}$ .

¿Es correcto este enfoque?

Si es así, entonces después de esto necesito una pista moderada & soy un principiante en formas diferenciales . Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí está el truco: por linealidad, la distribución abarcada por $V_1$ y $V_2$ es el mismo que el abarcado por $f(x,y,z)V_1(x,y,z)$ y $g(x,y,z)V_2(x,y,z)$ para $f$ y $g$ funciones no evanescentes. Se deduce que la distribución abarcada por $V_1$ y $V_2$ es igual a la comprendida por $\{\frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial z}\}$ . S $(x_0,y_0,z_0)$ : está parametrizado por $(s,t) \mapsto \varphi_t\circ \psi_s (x_0,y_0,z_0)$ , donde $\varphi$ y $\psi$ son los flujos respectivos.