La comprensión intuitiva de los derivados de $\sin x$ y $\cos x$

Question

Una de las primeras cosas que nunca se enseña en un cálculo diferencial de la clase:

• La derivada de $\sin x$ es $\cos x$.
• La derivada de $\cos x$ es $-\sin x$.

Esto lleva a un lugar limpio (y conveniente?) la cadena de derivados:

sin(x)
cos(x)
-sin(x)
-cos(x)
sin(x)
...

Un análisis de la forma de sus gráficas confirma algunos puntos; por ejemplo, cuando $\sin x$ es máxima, $\cos x$ es cero y se mueven hacia abajo; cuando $\cos x$ es máxima, $\sin x$ es cero y se mueven hacia arriba. Pero estos "puntos de coincidencia" sólo funcionará para los múltiplos de $\pi/4$.

Volvamos hacia la definición original(s) de seno y coseno:

En el nivel más básico, $\sin x$ se define como: para un triángulo rectángulo con ángulo interno de $x$ -- la longitud del lado opuesto al ángulo dividido por la hipotenusa del triángulo.

Para generalizar este para el dominio de todos los números reales, $\sin x$ se define como la coordenada de un punto en el círculo unitario que es un ángulo $x$ desde el eje X positivo.

La definición de $\cos x$ se hizo entonces de la misma manera, pero con adj/hyp y la coordenada X, como todos sabemos.

Hay algo acerca de este básico de la definición que le permite a alguien para buscar en estas definiciones, por sí solo, y pensar, "Hey, la derivada de la función seno con respecto al ángulo de la función coseno!"

Es decir, desde el círculo unitario definición solos. O, lo que es más sorprendente, el derecho triángulo definición solos. Ignorando análisis gráfico de su parcela.

En esencia, estoy preguntando, esencialmente, "Intuitivamente por qué es la derivada del seno, el coseno?"

Answer 1

Tal vez el siguiente diagrama se proporcionan datos:

La idea es mirar el seno y el coseno de curvas como en las proyecciones de una hélice dibujado en un cilindro. Si usted mira en el cilindro a sí mismo como un rizado plana cuadrada de la longitud de la 2pi, luego de la hélice es un rizado versión de la plaza de la diagonal. Un vector tangente a lo largo del plano de la plaza en diagonal siempre se encuentra a 45 grados a la plaza lados, dicen que con la longitud"1" sombras en cada dirección; después suavemente rizado de la plaza en el cilindro, el vector tangente se encuentra a 45 grados a la del cilindro (z), el eje y la perpendicular (xy)avión.

La proyección de la hélice en el zy - y zx-planos da las gráficas de seno y coseno. La proyección de la hélice del vector tangente da vectores tangente a los gráficos. El "dz"s de estos proyectado tangentes son siempre 1 (el "vertical" a la sombra de la hélice del vector tangente). Para llegar a "dy" y "dx" ("v_x" y "v_y" en el diagrama) se proyectan hacia abajo en el plano xy donde podemos ver un círculo, y otro proyectado vector tangente.

La geometría básica nos dice que una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. En nuestro círculo, el punto de tangencia --y el radio vector-- es parametrizada como "< cos, sin, 0 >". La perpendicular a la tangente de la línea por lo tanto debe tener un "negativo recíproco" vector de dirección: "< -sen, cos, 0 >", lo que nos da nuestro "dx" y "dy" para la hélice de la tangente ... y la proyección de la gráfica de la tangente, así que podemos hacer las siguientes conclusiones:

La derivada del coseno-por su definición conceptual, como "la pendiente de la línea tangente"-- es el cambio en x-over-cambio-en-z = dx/dz = -sen/1 = -sen.

Asimismo, la derivada del seno es dy/dz = cos/1 = cos.

Me gusta este método, ya que el concepto de "pendiente de la recta tangente a la" definición de la derivada se utiliza en todo; no hay (obvio) apela a digressive computacional trucos que implican identidades trigonométricas y los límites de la diferencia de cocientes. También me gusta que la curiosidad con signo negativo en la derivada del coseno, se retrotrae a una primaria de la propiedad del círculo de la geometría.

Por supuesto, este enfoque no constituyen la prueba de las fórmulas. El proceso de rizado de la plana plaza en un cilindro, y afirman que el vector tangente se comporta como se reivindica en realidad supone el cómputo de maquinaria cubiertos por el límite tradicional de los argumentos. Sin embargo, en una intuitiva nivel, creo que este argumento explica el "por qué" de los derivados muy bien. Entonces, sabiendo lo que las fórmulas son (o "debe ser") ayuda a motivar a la investigación de los computacional trucos necesarios para ofrecer una rigurosa prueba.

He aquí un PDF con una variante de la anterior discusión (pero la misma imagen). He aquí un Mathematica Demostración que anima a los diversos elementos, incluyendo la plaza de curling en el cilindro.

Answer 2

Estoy de acuerdo con David (+1), esta es la pertinente gráfico, y funciona para mí:

A partir de aquí.

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Actualizado (añadido breve explicación para hacer de este autónomo):

El principal derecho de un triángulo (en azul) da $\cos \theta$ (lado horizontal) y $\sin \theta$ (vertical). El pequeño cambio de $\Delta \theta$ produce un nuevo triángulo con la correspondiente $\cos(\theta +\Delta \theta )$ y $\sin(\theta +\Delta \theta)$

Ahora bien, mirando el pequeño triángulo (en rojo) vemos que sus piernas se corresponden con los incrementos de $\Delta(\sin \theta)$ y $-\Delta(\cos \theta)$ ; además, para los pequeños incrementos, la hipotenusa $h$ tiende a la arc $\Delta \theta$, y el triángulo pequeño es similar a la principal (y por tanto $\phi \a \theta$).

Pero $\cos \phi=\Delta(\sin \theta)/h \a d(\sin \theta)/ d\theta $. Por lo tanto $d(\sin \theta)=\cos \theta \, d\theta$

Hacer lo mismo con la otra pierna, nos dan $d(\cos \theta)= - \sin \theta \, d\theta$

Answer 3

Como la Física Importante, me gustaría proponer una respuesta que viene a mi entender, de ver que el seno y el coseno en el mundo real.

Al hacer esto, voy a examinar un movimiento circular uniforme.

Por el punto-en-una-unidad-círculo definición de seno y coseno, podemos decir que:

r(t) = < cos(t), sin(t) >

Es una función paramétrica para describir un punto que se mueve a lo largo del círculo unidad.

Consideremos lo que la primera derivada, en un contexto físico, debe ser. La primera derivada de la posición debe representar, idealmente, la velocidad del punto.

En un contexto físico, sería de esperar que la velocidad a la línea tangente a la dirección del movimiento en un momento dado, t. A raíz de este, sería tangente al círculo en el ángulo t. También, debido a que la velocidad angular es constante, la magnitud de la velocidad debe ser constante así.

r'(t)     = < -sin(t), cos(t) >
|r'(t)|^2 = (-sin(t))^2 + cos(t)^2
|r'(t)|^2 = sin(t)^2 + cos(t)^2
|r'(t)|^2 = 1
|r'(t)|   = 1

Como era de esperar, la velocidad es constante, por lo que los derivados de seno y coseno se comportan como deberían.

También podemos pensar en lo que la dirección de la velocidad sería, así, en comparación con el vector de posición.

No estoy seguro si esto es una "trampa" por los límites de la pregunta, pero por la visualización de la gráfica podemos ver que la velocidad, por la naturaleza de ser tangente al círculo, debe ser perpendicular al vector de posición.

Si esto es cierto, entonces la posición * velocidad = 0 (producto escalar).

                              r(t) * r'(t) = 0
  < cos(t), sin(t) > * < -sin(t), cos(t) > = 0
( cos(t) * -sin(t) ) + ( sin(t) * cos(t) ) = 0
              -sin(t)cos(t) + sin(t)cos(t) = 0
                                         0 = 0

La vida es buena. Si asumimos que la definición de cos(t)- sin(t) y que la definición de sin(t) cos(t), encontramos comportamiento físico exactamente como se esperaba: una velocidad constante que es siempre perpendicular al vector de posición.

Podemos dar un paso más y buscar en la aceleración. En Física, se diría que se trata de la restauración de la fuerza. En un círculo, ¿qué aceleración tendría que existir en el fin de mantener un punto se mueve en un círculo?

Más específicamente, ¿en qué sentido esta aceleración?

Se tarda poco de pensamiento para llegar a la idea de que la aceleración tendría que ser el centro de búsqueda y apuntando hacia el centro. Por lo tanto, si podemos encontrar que la aceleración está en la dirección opuesta a como el vector de posición, de la que podemos estar casi seguros acerca de los derivados de seno y coseno. Es decir, su ángulo interno debe ser pi.

                            r(t) * r''(t) = |r(t)| * |r''(t)| * cos(pi)
                            r(t) * r''(t) = |r(t)| * |r''(t)| * -1
< cos(t), sin(t) > * < -cos(t), -sin(t) > = |<cos(t),sin(t)>| * |<-cos(t),-sin(t)>| * -1
                    -cos(t)^2 + -sin(t)^2 = 1 * 1 * -1
               -1 * (cos(t)^2 + sin(t)^2) = -1
                                   -1 * 1 = -1
                                       -1 = -1

Answer 4

Este patrón interesante de los derivados que implican el seno y el coseno está relacionado con el hecho de que e^x es su propia derivada y que e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) (Fórmula de Euler).

Estos dos hechos son, en cierto sentido, las matemáticas que se esconden detrás de Justin L más explicación física, que bien podría encontrar más intuitiva.

Answer 5

Esto no es exactamente lo que usted pidió, pero mira la serie de Taylor para los polinomios:

$$ \sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ para todo } x\!$$

$$\cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ para todo } x\! $$

Las relaciones entre los derivados son claras a partir de este.