Más concretamente, ¿es cierto que una representación de $\dim < p+1$ del grupo algebraico $SL_2(\mathbb{F}_p)$ es siempre completamente reducible? (por supuesto por encima de esta dimensión hay ejemplos no completamente reducibles)
También son bienvenidos otros resultados generales que puedan ayudar en esta dirección.
Gracias
La obra esencial en este sentido fue publicada a partir de 1994 por J.-P. Serre y J.C. Jantzen, relativos tanto a grupos algebraicos como a grupos finitos afines de tipo Lie. A estos trabajos les siguieron los de R. Guralnick y G.J. McNinch. Existen límites de dimensión uniformes para la reducibilidad completa, más estrictos en el rango 1. Para un grupo finito de tipo simple sobre un campo de $q$ elementos en la característica $p$ El límite superior de Jantzen es $p$ para un rango de al menos 2 pero $p-2$ en su caso. Lo mejor que puedo hacer es enumerar algunas referencias:
MR1635685 (99g:20079) 20G05 (20G40) Jantzen, Jens Carsten (1-OR) Las representaciones de baja dimensión de los grupos reductores son semisimples. Algebraic groups and Lie groups, 255-266, Austral. Math. Soc. Lect. Ser., 9, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997.
MR1753813 (2001k:20096) McNinch, George J.(1-NDM) Módulos semisimples para grupos finitos de tipo Lie. J. London Math. Soc. (2) 60 (1999), no. 3, 771--792.
MR1717357 (2000m:20018) 20C20 Guralnick, Robert M. (1-SCA) Las representaciones pequeñas son completamente reducibles. J. Algebra 220 (1999), no. 2, 531-541.
Si entiendo su pregunta, entonces no. El grupo finito SL(2,5) tiene una representación proyectiva, reducible e indecomponible de dimensión 5 sobre el campo de 5 elementos, a saber, la cubierta proyectiva del módulo principal 5^1. Tiene series de composición 5^1, 5^3, 5^1. Esto te da un ejemplo de un módulo no reducible de dimensión p-1 = 4 también si quieres.
Probablemente sólo necesites preocuparte por los módulos indescomponibles, y como SL(2,p) tiene un subgrupo Sylow p cíclico, puedes usar el árbol de Brauer para escribir los módulos indescomponibles.
Las indecomponibles proyectivas para SL(2,p) se describen en el 48-49 del libro Local representation theory de Alperin ( MR 860771 google ).
Jim Humphreys ya dio la respuesta, pero pensé en tratar de aclarar la cuestión de las representaciones "algebraicas vs. no algebraicas".
Si G es cualquier grupo algebraico reductor en char. p (digamos, sobre un cierre alg. k de F_p), el resultado del artículo de Jantzen mencionado en la respuesta de Jim Humphreys muestra que cualquier representación racional [=algebraica] SL_2 de dim <= p es semisimple.
Si se considera G=SL_2 y se mira el grupo finito de puntos F_p H=SL_2(F_p), entonces el ejemplo dado por Schmidt explica por qué el resultado de Jantzen para este grupo finito tiene un límite más pobre que p. Como se menciona en la respuesta de Jim, el resultado de Jantzen de Jantzen para H sólo dice que cualquier módulo kH de dimensión <=p-2 es semisimple.
Por cierto, los dos resultados que acabamos de mencionar implican que una representación kH no completamente reducible de dimensión p-1 no es la restricción a H de una representación racional [=algebraica] de SL_2. (Contrasta esto con el hecho de que toda semisimple Módulo kH es la restricción de una representación racional semisimple de SL_2).
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