Cuando estoy revisando algunas preguntas de aptitud tengo este problema
Cuántas veces la aguja de las horas, los minutos y los segundos formarán un triángulo equilátero en 12 horas de reloj
No puedo entender cómo forman el triángulo equilátero ya que no pueden ser los lados del triángulo, tal vez deberían ser la mediana. Si es así no soy capaz de resolver cuando sucede
¿Puede alguien ayudarme?
Edición: Asumir que las manos son de igual longitud puede facilitar el problema
Este tipo de problema puede ser más fácil de manejar si se gira el reloj hacia atrás lo suficientemente rápido como para detener la aguja de las horas. Entonces se verá que la aguja de los minutos gira a $330^{\circ}$ por hora, y el segundero a $60 \times 360 - 30 = 21570^{\circ}$ por hora.
La aguja de los minutos está en el $120^{\circ}$ posición en $\frac{360m+120}{330}$ horas, y el segundero está en la $240^{\circ}$ posición en $\frac{360s+240}{21570}$ horas.
Para que estos tiempos coincidan, necesitamos números enteros $m$ y $s$ tal que
$$\frac{360m+120}{330} = \frac{360s+240}{21570}$$
Pero esto se simplifica a
$$2157m + 703 = 33s$$
lo cual es imposible porque la rhs es divisible por 3 pero la lhs no lo es.
Por simetría (es decir, se pasa la película al revés en un espejo), la posición reflejada (minutero en $240^{\circ}$ , de segunda mano en $120^{\circ}$ ) también es imposible.
Una lectura razonable de la pregunta es si hay momentos en los que las manos están espaciadas en ángulos de $120^\circ$ . Todos los ángulos estarán en grados. La manecilla de la hora se mueve $\frac 1{120}$ por segundo, el minutero se mueve $\frac 1{10}$ por segundo y el segundero se mueve a 6 por segundo. A partir del mediodía, el minutero gana $\frac {11}{120}$ por segundo en la manecilla de la hora, por lo que será $120$ adelante en $1309\frac 1{11}$ segundos. La aguja de las horas se ha movido $10\frac {10}{11}$ en ese tiempo, el minutero $130\frac {10}{11}$ y la segunda mano $21$ revoluciones plus $294 \frac 6{11}$ por lo que no se forma un triángulo equilátero. Habrá dos momentos cada hora en los que las agujas de las horas y los minutos estén $120$ aparte. Puedes comprobar el resto, pero me sorprendería que funcionara.
He aquí una estrategia, no una solución, suponiendo siempre que las manos son de igual longitud y el "triángulo" en cuestión está formado por las puntas. La condición deseada se da cuando los ángulos entre las diferentes manos son $120^\circ$ . Ahora es un problema estándar de álgebra de la escuela secundaria para determinar cuando hay un $120^\circ$ ángulo de la hora al minutero, pasa $11$ veces en cada $12$ -horas si el ángulo es positivo, $11$ más si el ángulo es negativo. Encontraría estos $22$ veces y ver si el segundero está bien colocado en cada una de ellas. Mi apuesta es que nunca sucede.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
