Prueba $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$ utilizando Series exponencial

Question

Con el fin de mostrar $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$ utilizando Series exponencial, tengo lo siguiente:

$$e^{x}e^{y}=\Big(\sum_{n=0}^{\infty}{x^n \over n!}\Big)\cdot \Big(\sum_{n=0}^{\infty}{y^n \over n!}\Big)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^n{x^ky^n \over {k!n!}}$$

Pero donde debo ir junto a get $e^{x+y}=\sum_{n=0}^{\infty}{(x+y)^n \over n!}$.

Gracias de antemano.

Answer 1

Usted debería haber recibido $$ \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\cdot\frac{y^{n-k}}{(n-k)!}. $$ Después de eso, usted puede escribir $$ \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{1}{n!} \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} x^k y^{n-k}. $$ Dado que el factor de $\dfrac{1}{n!}$ no depende de $k$, se pueden llevar a cabo: $$ \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} x^k y^{n-k}\right). $$ Entonces usted tiene $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} (x+y)^n. $$

¿Cómo se $\displaystyle\left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) \left(\sum_{m=0}^\infty c_m\right)$ se $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty (b_n c_m)$?

Y ¿cómo se $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty a_{n,m}$ se $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_{k,n-k}$?

En la primera suma anterior, observe que $\sum_{m=0}^\infty c_m$ no depende de $n$ por lo que puede ser empujado dentro de la suma y convertirse en $$ \sum_{n=0}^\infty \left( b_n \sum_{m=0}^\infty c_m \right). $$ A continuación, el factor de $b_n$ no depende de $m$, por lo que se convierte en la expresión $$ \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty (b_n c_m). $$ Que responde la primera en negrita de la pregunta anterior.

El próximo considerar la matriz $$ \begin{array}{ccccccccc} a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} & a_{0,3} & \cdots \\ a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots \\ a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots \\ a_{3,0} & a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array} $$ La suma de $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_{k,n-k}$ corre por las diagonales: $$ \begin{array}{ccccccccc} & & & & & & & & n=3 \\ & & & & & & & \swarrow \\ a_{0,0} & & a_{0,1} & & a_{0,2} & & a_{0,3} & & \cdots \\ \\ & & & & & \swarrow \\ a_{1,0} & & a_{1,1} & & a_{1,2} & & a_{1,3} & & \cdots \\ \\ & & & \swarrow \\ a_{2,0} & & a_{2,1} & & a_{2,2} & & a_{2,3} & & \cdots \\ & \swarrow \\ a_{3,0} & & a_{3,1} & & a_{3,2} & & a_{3,3} & & \cdots \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \end{array} $$

Answer 2

Tratar de ampliar $\displaystyle\frac{(x+y)^n}{n!}$.

Answer 3

Que $f(t)=e^t$, según lo definido por la serie de energía. Entonces por diferenciar el término por término, encontramos que el $f'(t)=t$. Ahora que $y$ ser fijoy que $$g_y(x)=\frac{f(x+y)}{f(x)}.$ $ diferencian. Tenemos $g_y'(x)=0$, $g_y$ es una función constante. Ahora que $x=0$. Encontramos que el $g_y(x)=e^y$ y el resultado sigue.