Tu pregunta puede venir del hecho de que estás tratando con Odds Ratios y Probabilidades, lo cual es confuso al principio. Dado que el modelo logístico es una transformación no lineal de $\beta^Tx$ El cálculo de los intervalos de confianza no es tan sencillo.
Antecedentes
Recordemos que para el modelo de regresión logística
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Probabilidad de $(Y = 1)$ : $p = \frac{e^{\alpha + \beta_1x_1 + \beta_2 x_2}}{1 + e^{ \alpha + \beta_1x_1 + \beta_2 x_2}}$
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Probabilidades de $(Y = 1)$ : $ \left( \frac{p}{1-p}\right) = e^{\alpha + \beta_1x_1 + \beta_2 x_2}$
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Probabilidades de registro de $(Y = 1)$ : $ \log \left( \frac{p}{1-p}\right) = \alpha + \beta_1x_1 + \beta_2 x_2$
Consideremos el caso de un aumento de una unidad en la variable $x_1$ es decir $x_1 + 1$ entonces las nuevas probabilidades son
$$ \text{Odds}(Y = 1) = e^{\alpha + \beta_1(x_1 + 1) + \beta_2x_2} = e^{\alpha + \beta_1 x_1 + \beta_1 + \beta_2x_2 } $$
- Odds Ratio (OR) son por lo tanto
$$ \frac{\text{Odds}(x_1 + 1)}{\text{Odds}(x_1)} = \frac{e^{\alpha + \beta_1(x_1 + 1) + \beta_2x_2} }{e^{\alpha + \beta_1 x_1 + \beta_2x_2}} = e^{\beta_1} $$
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Log Odds Ratio \= $\beta_1$
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Riesgo relativo o (relación de probabilidad) = $\frac{ \frac{e^{\alpha + \beta_1x_1 + \beta_1 + \beta_2 x_2}}{1 + e^{ \alpha + \beta_1x_1 + \beta_1 + \beta_2 x_2}}}{ \frac{e^{\alpha + \beta_1x_1 + \beta_2 x_2}}{1 + e^{ \alpha + \beta_1x_1 + \beta_2 x_2}}}$
Interpretación de los coeficientes
¿Cómo interpretarías el valor del coeficiente $\beta_j$ ? Suponiendo que todo lo demás se mantenga fijo:
- Por cada unidad de aumento de $x_j$ la relación logarítmica de las probabilidades aumenta en $\beta_j$ .
- Por cada unidad de aumento de $x_j$ la proporción de probabilidades aumenta en $e^{\beta_j}$ .
- Por cada aumento de $x_j$ de $k$ a $k + \Delta$ la proporción de probabilidades aumenta en $e^{\beta_j \Delta}$
- Si el coeficiente es negativo, entonces un aumento de $x_j$ conduce a una disminución de la razón de momios.
Intervalos de confianza para un solo parámetro $\beta_j$
¿Sólo tengo que usar $1.96∗SE$ ? ¿O tengo que convertir el SE utilizando un enfoque descrito aquí?
Dado que el parámetro $\beta_j$ se estima utilizando la Estimación de Máxima Verosimilitud, la teoría MLE nos dice que es asintóticamente normal y por lo tanto podemos utilizar la muestra grande Wald intervalo de confianza para obtener el
$$ \beta_j \pm z^* SE(\beta_j)$$
Lo que da un intervalo de confianza en la relación logarítmica. El uso de la propiedad de invarianza de la MLE nos permite exponer para obtener $$ e^{\beta_j \pm z^* SE(\beta_j)}$$
que es un intervalo de confianza sobre la razón de momios. Tenga en cuenta que estos intervalos son para un solo parámetro.
Si quiero entender el error estándar para ambas variables, ¿cómo lo consideraría?
Si incluye varios parámetros puede utilizar el procedimiento de Bonferroni, de lo contrario para todos los parámetros puede utilizar el intervalo de confianza para las estimaciones de probabilidad
Procedimiento de Bonferroni para varios parámetros
Si $g$ Los parámetros deben ser estimados con un coeficiente de confianza familiar de aproximadamente $1 - \alpha$ los límites de confianza conjuntos de Bonferroni son
$$ \beta_g \pm z_{(1 - \frac{\alpha}{2g})}SE(\beta_g)$$
Intervalos de confianza para las estimaciones de probabilidad
El modelo logístico arroja una estimación de la probabilidad de observar un uno y nuestro objetivo es construir un intervalo frecuentista alrededor de la verdadera probabilidad $p$ tal que $Pr(p_{L} \leq p \leq p_{U}) = .95$
Un enfoque llamado transformación del punto final hace lo siguiente:
- Calcule los límites superior e inferior del intervalo de confianza para la combinación lineal $x^T\beta$ (utilizando el IC de Wald)
- Aplicar una transformación monótona a los puntos finales $F(x^T\beta)$ para obtener las probabilidades.
Desde $Pr(x^T\beta) = F(x^T\beta)$ es una transformación monótona de $x^T\beta$
$$ [Pr(x^T\beta)_L \leq Pr(x^T\beta) \leq Pr(x^T\beta)_U] = [F(x^T\beta)_L \leq F(x^T\beta) \leq F(x^T\beta)_U] $$
En concreto, esto significa calcular $\beta^Tx \pm z^* SE(\beta^Tx)$ y luego aplicar la transformada logit al resultado para obtener los límites inferior y superior:
$$[\frac{e^{x^T\beta - z^* SE(x^T\beta)}}{1 + e^{x^T\beta - z^* SE(x^T\beta)}}, \frac{e^{x^T\beta + z^* SE(x^T\beta)}}{1 + e^{x^T\beta + z^* SE(x^T\beta)}},] $$
La varianza aproximada estimada de $x^T\beta$ puede calcularse utilizando la matriz de covarianza de los coeficientes de regresión mediante
$$ Var(x^T\beta) = x^T \Sigma x$$
La ventaja de este método es que los límites no pueden estar fuera del rango $(0,1)$
También existen otros enfoques, como el método delta, el bootstrapping, etc., cada uno de los cuales tiene sus propios supuestos, ventajas y límites.
Fuentes e información
Mi libro favorito sobre este tema es "Modelos estadísticos lineales aplicados" por Kutner, Neter, Li, Capítulo 14
Si no, aquí hay algunas fuentes en línea:
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