Si $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ y $\int f\varphi=0$ para todos $\varphi$ continua con soporte compacto, entonces $f=0$ a.e.

Question

Puedo mostrar esto para $f\in L^1(\mathbb{R})$ creando una secuencia de funciones continuas de soporte compacto $\varphi_n\to \frac{f}{|f|+1}$ así que $\int\frac{f^2}{|f|+1}=0$ por Convergencia Dominada por lo que debemos tener $f=0$ en $L^1$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo extender esto para $f\in L^1_{loc}$ el espacio de las funciones localmente integrables. Cualquier ayuda con esto sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Considere $f \phi$ , donde $\phi \geq 0$ es suave y se apoya de forma compacta en una bola $B(0,r)$ . Tome $\phi=1$ dentro de alguna bola más pequeña $B(0,r/2)$ . Entonces $f\phi$ está en $L^1$ y satisface las mismas hipótesis que $f$ Así que $f\phi=0$ a.e., y por lo tanto $f=0$ a.e. en $B(0,r/2)$ . Ahora tome una secuencia de $r_n = n$ acercándose a $\infty$ para encontrar que $f=0$ a.e. en $B(0,n/2)$ para todos $n$ es decir $f=0$ a.e.