¿Esta secuencia limita? (Un problema abierto entre mis compañeros de clase!)

Question

Deje $f$ ser una función suave (decir $\mathcal{C}^{\infty}$) en sus dos variables reales ( $t$ $T$ ). Considero que el siguiente secuencia definida por $$A_n:=\lim_{T \to \infty} \int_{0}^{1} e^{-n t} f(t,T)dt \quad \quad (n\geq 1)$$ donde suponemos que este límite existe y es finito para todo entero $n$. Me gustaría concluir que la secuencia de $(A_n)$ está acotada. Es eso cierto ?

Esto no es un problema obvio : asumir ciertas condiciones en $f$, entonces el ejercicio se convierte en clásico. Sin embargo, muy poco se puede decir acerca de la $(A_n)$ en el caso general. De hecho estoy profundamente pensar que la respuesta es no, y que podemos encontrar una $f$ tal que $A_n$ tiende a infinito.

Si uno toma $f(t,T)=2\sin(tT)/\pi t$, $(A_n)$ es la constante de secuencia igual a $1$. Esto demuestra que $f$ no necesariamente tienden a $0$.

Gracias por su ayuda !

Answer 1

La secuencia de $\{A_n\}$ no necesita ser delimitado. Para ver esto, uno podría, por ejemplo, como $f(t,T)$ elegir algo que se aproxima a un derivado de un delta de distribución como $T\to+\infty$. Quiero dar créditos a mi colega Tomás Persson a quien se le ocurrió esa idea.

Voy a dar esta aproximación ejemplo. Mi ejemplo no es liso, sino que es sólo para hacer los cálculos más transparente.

Vamos $$ g(t,T)= \begin{cases} \frac{T}{2} & |t|\leq\frac{1}{T}\\ 0 & |t|>\frac{1}{T}. \end{casos} $$ Esta es una aproximación de la delta de distribución como $T\to+\infty$. Luego nos vamos a $f$ ser la diferencia siguiente cociente: $$ f(t,T)=\frac{g(t-1/T,T)-g(t-2/T,T)}{1/T} $$ Es entonces un asunto simple para calcular la integral $$ \int_0^1 e^{nt}f(t,T)\,dt=\frac{T^2}{2n}\Bigl(1+e^{-3n/T}-e^{-2n/T}-e^{-n/T}\Bigr) $$ Por lo tanto, $$ A_n=\lim_{T\to+\infty}\int_0^1 e^{nt}f(t,T)\,dt = n, $$ que por supuesto es ilimitado.

Actualización Permítanme, para completar, añadir una función suave $f$ que también da $A_n=n$: $$ f(t,T)=(T^2-c^3t)e^{-Tt}. $$ El argumento es el mismo, se aproxima a un derivado de la delta de distribución.

Answer 2

$0 \lt \mathrm e^{-nt} \le 1 \quad \forall x \in [0,1] \\ \implies A_n \lt \lim_{T \to \infty} \int_0^1 f(t,T) \,\mathrm d t$

por lo tanto limita sobre si el límite existe.

Un resultado similar da un límite más bajo si el límite es negativa.