Estoy tratando de considerar la dinámica relativista de varios cuerpos en la relatividad especial. En la mecánica clásica, es fácil escribir un simple $n$ -sistema de cuerpos con potencial arbitrario $V$ :
\begin{equation} m \ddot{x}_ i=\sum_ j - \nabla_ {x_ i} V(|x_ i-x_ j|). \tag{1} \label{1} \end{equation} En relatividad especial, es tentador sustituirlo por el potencial retardado, donde $x_ j$ se evalúa en el momento en que $c |\Delta t|=|x_ i-x_ j|$ . Sin embargo, esto termina en soluciones que estallan con el tiempo . Quiero encontrar una acción para un sistema de 2 cuerpos que se reduzca a la ecuación \ref {1} en el límite $v\ll c$ pero que también tiene leyes de conservación correctas y físicamente significativas.
Como todo esto está dentro del ámbito de la reacción de radiación, me imagino que un punto de partida seguro es considerar las cosas desde un sistema lagrangiano tipo Feynman-Wheeler ( La electrodinámica clásica en términos de acción directa entre partículas ), ya que sus simetrías darán directamente las leyes de conservación (aunque con algunos retrasos en la velocidad de la luz). Etiqueto las dos partículas $a$ y $b$ y estoy trabajando con $c=1$ , cargas y masas unitarias, firma $(- + + +)$ y $t$ un parámetro arbitrario que etiqueta las líneas del mundo. Entonces la acción es:
$$A=-\sum_{i=a,b}\int dt \sqrt{-\dot x_i^\mu \dot x_{i\mu}} - \iint \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2 \label{2}\tag{2}$$
Tenga en cuenta que $dt \sqrt{-\dot x_i^\mu \dot x_{i\mu}}$ debe considerarse realmente como $\sqrt{-dx_i^\mu dx_{i\mu}}$ y que la integral doble debe considerarse realmente como $dx_a^\mu dx_{b\mu}$ . Así que realmente somos invariantes de reparametrización, y realmente estamos integrando con respecto a las líneas del mundo. (Obsérvese también: " $x^2$ "en la función delta significa $x^\mu x_\mu$ .)
Es fácil ver que esto da la fuerza de Coulomb: La partícula fija $b$ al origen para que $x_b^\mu(t)=(t,\vec{0})$ . Entonces para $x_a^\mu(t)=(t,\vec{x}_a(t))$ encontramos $\dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}=1$ . Aplicar la identidad de la función delta $\delta(g(x))=\sum_{g(x_0)=0} \delta(x-x_0)/|g'(x_0)|$ e integrar con respecto a $t_2$ para conseguir
$$\iint \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2 =\int dt_1 \sum_{t_2=t_a,t_r}\frac{1}{|2(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu}|}=\int dt_1 \sum_{t_2=t_a,t_r}\frac{1}{|2\Delta t|}.\label{3}\tag{3}$$
$t_a$ y $t_r$ son los tiempos avanzados y retardados con $|\Delta t|=|\Delta x|$ por lo que sumando las dos obtenemos la acción de una sola partícula en un potencial de Coulomb $$\int dt_1 \frac{1}{|\Delta x|}$$
Así que el término $|(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu}|$ convertido en una diferencia vectorial $|\Delta \vec{x}|$ . Esto nos lleva a la idea: sólo hay que multiplicar el término de interacción por términos así. El término de acción corregido podría ser algo así:
$$\iint F(|(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu} /\sqrt{- \dot x_b^\nu\dot x_{b\nu}}|) \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2. \label{4}\tag{4}$$
Si $F(x)=xV(x)$ y la partícula $b$ se fija en el origen, esto da el límite correcto, y es covariante de Lorentz e invariante de la reparametrización (eso es lo que el $\sqrt{-\ldots}$ término es para), pero también favorece $x_a$ en $x_b$ ¡! Simetrizando con respecto a $a$ y $b$ también parece estar bien, porque para $|\frac{d}{dt} \vec{x}_a| \ll 1$ deberíamos tener $\dot x_{a\mu} /\sqrt{- \dot x_a^\nu\dot x_{a\nu}}\approx (1,\vec{0})$ pero me parece que debería haber un camino más sencillo.
¿Alguien sabe cómo hacer esto, o tiene alguna idea mejor sobre cómo modificar el término de interacción?
La covarianza de Lorentz y la invariancia de reparametrización imponen algunas fuertes restricciones a la acción, por lo que quizá no sea posible obtener una acción muy elegante con las propiedades deseadas.
